Springen naar inhoud

Bewijs kubus


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Freek Wiskunde

    Freek Wiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 november 2006 - 12:30

Van een kubus hebben drie hoekpunten geheeltallige coordinaten.

Hebben alle andere hoekpunten ook geheeltallige coordinaten?

Bekijk 2 gevallen:
1. Alle 3 gegeven hoekpunten liggen in 1 zijvlak
2. Alle 3 gegeven hoekpunten liggen niet in 1 zijvlak.

Iemand enig idee hoe ik hiervoor een bewijs kan geven?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 09 november 2006 - 14:51

Een vector draaien in :)3 komt neer op het product van 3 elementaire draaiingen, n.l. draaien om de x-as, y-as en z-as.
Voor alle 3 kun je een 3x3 matrix opstellen.
Pas die 3 draaiingen toe op de hoekpunten {(a1,a2,a3) | ai :) {0,p} voor i=1,2,3}
Daarna translatie over een vector (r,s,t)T.
Drie van de 8 punten hebben geheeltallige co÷rdinaten. Daaruit kun je voor de andere 5 conclusies trekken.

#3

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 november 2006 - 19:51

Ik weet niet, maar als ge de oorsprong van je assenstelsel in ÚÚn van de hoekpunten van de kubus zou leggen?En de assen...
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#4

Freek Wiskunde

    Freek Wiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 november 2006 - 01:14

Kan iemand mij hiermee nog verder helpen?
Ik begrijp weinig van het uitleg :S

#5

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 28 november 2006 - 22:23

Als de oorsprong van het assenstelsel in ÚÚn van de hoekpunten van de kubus ligt en de co÷rdinatenassen langs drie onderlijk loodrechte ribben. Dan zal als ÚÚn van de hoekpunten van de kubus heeltallige co÷rdinaten heeft de andere dit automatisch ook moeten hebben omdat de ribben van de kubus allemaal even lang zijn.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#6

Freek Wiskunde

    Freek Wiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 november 2006 - 00:56

Ja...dit is mij wel duidelijk...
Maar hoe zit het als de 3 gegeven hoekpunten niet in dezelfde vlak zitten?

#7

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 29 november 2006 - 06:58

Het is slechts nodig dat ÚÚn hoekpunt heeltallige co÷rdinaten heeft(gelijk welk).Omdat de kubus gelijke ribben en rechte hoeken heeft.Het hoekpunt waar de oorsprong v.h. assenstelsel in ligt heeft als co÷rdinaten (0,0,0).
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 november 2006 - 07:41

Het is slechts nodig dat ÚÚn hoekpunt heeltallige co÷rdinaten heeft(gelijk welk).Omdat de kubus gelijke ribben en rechte hoeken heeft.Het hoekpunt waar de oorsprong v.h. assenstelsel in ligt heeft als co÷rdinaten (0,0,0).

Dat hoeft niet per se, je zou best een kubus kunnen hebben waarvan het linker-onder-achterhoekpunt LaTeX is en het rechter-boven-voorhoekpunt (7,8,5).

Wat betreft de oorspronkelijke vraag: de situatie als de drie punten niet in hetzelfde zijvlak liggen lijkt me nog makkelijker dan wanneer ze wel in ÚÚn zijvlak liggen.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 29 november 2006 - 09:11

Kotje schreef:

Als de oorsprong van het assenstelsel in ÚÚn van de hoekpunten van de kubus ligt en de co÷rdinatenassen langs drie onderlijk loodrechte ribben. Dan zal als ÚÚn van de hoekpunten van de kubus heeltallige co÷rdinaten heeft de andere dit automatisch ook moeten hebben omdat de ribben van de kubus allemaal even lang zijn


Als dit verkeerd is, dan ben ik seniel en gelukkig.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#10

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 november 2006 - 09:42

Kotje schreef:

Als de oorsprong van het assenstelsel in ÚÚn van de hoekpunten van de kubus ligt en de co÷rdinatenassen langs drie onderlijk loodrechte ribben. Dan zal als ÚÚn van de hoekpunten van de kubus heeltallige co÷rdinaten heeft de andere dit automatisch ook moeten hebben omdat de ribben van de kubus allemaal even lang zijn


Als dit verkeerd is, dan ben ik seniel en gelukkig.

De kubus met hoekpunten (0,0,0) en ([wortel]2,[wortel]2,[wortel]2) voldoet aan jouw omschrijving, het punt (0,0,0) heeft immers heeltallige co÷rdinaten [rr]

Maar zonder flauw te doen: als gegeven is dat de kubus met 1 hoekpunt op de oorsprong is, dan heb je natuurlijk gelijk, dan hoeft er inderdaad maar 1 hoekpunt (wel een ander hoekpunt dan die op de oorsprong ligt) heeltallige co÷rdinaten te hebben.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 29 november 2006 - 09:53

Als de oorsprong van het assenstelsel in ÚÚn van de hoekpunten van de kubus ligt en de co÷rdinatenassen langs drie onderlijk loodrechte ribben. Dan zal als ÚÚn van de hoekpunten van de kubus heeltallige co÷rdinaten heeft de andere dit automatisch ook moeten hebben omdat de ribben van de kubus allemaal even lang zijn.

Als de kubus een hoekpunt heeft met gehele co÷rdinaten, zeg (a,b,c), dan kun je door translatie via (-a,-b,-c) er voor zorgen dat een van de hoekpunten in de oorsprong ligt.
Je kunt niet zeggen dat de co÷rdinatenassen langs drie onderlijk loodrechte ribben liggen. Daarvoor zal je de kubus moeten draaien, en wat daar de gevolgen van zijn is een grote probleem!

#12

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 29 november 2006 - 10:59

PeterPan schreef:

Daarvoor zal je de kubus moeten draaien, en wat daar de gevolgen van zijn is een grote probleem!

Ik begin van mijn oorsprong in de oorsprong te leggen en dan de assen zo te leggen, dus dat probleem vervalt.
Trouwens met een heeltallige translatie en door het feit co÷rdinaten heeltallig zijn en een rotatie de lengte bewaart zal men er op die andere manier ook komen denk ik.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#13

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 december 2006 - 09:48

Trouwens met een heeltallige translatie en door het feit co÷rdinaten heeltallig zijn en een rotatie de lengte bewaart zal men er op die andere manier ook komen denk ik.

Deze kubus ligt met 1 hoekpunt op de oorsprong en heeft 3 andere hoekpunten met geheeltallige coordinaten:
Geplaatste afbeelding
De bovenste vier hoekpunten hebben echter allemaal [wortel]2 als y-co÷rdinaat. Dat krijg je met rotatie niet weggewerkt.

Dit lijkt me tevens een tegenvoorbeeld voor hetgeen de TS wilde bewijzen.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#14

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 01 december 2006 - 10:32

Prima voorbeeld Rogier.
Het was te lastig om te bewijzen en dat betekent vaak dat het niet klopt.

#15

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 01 december 2006 - 11:46

Misschien bedoelde hij dat de ribbe heeltallig was? Het was daarom dat ik mijn assenstelsel zo koos, omdat ik anders ook niet inzag hoe men dit met translatie en rotatie kon bewijzen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures