Kortste Afstand tot de oorsprong

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 09-11-'06, 21:34

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Kortste Afstand tot de oorsprong

Iets waar ik al even mee zit:

Wat is de coordinaat van het punt het dichtst bij de oorsprong (0,0) van de functie met als voorschrift:
\(f(x) = \frac{1}{x^p}\)
met p>0.

Ik had eraan gedacht om de afstandformule te gebruiken:

noem de afstand a, dan is:
\(a = \sqrt{(x-x_1)² + (y-y_1)²} = \sqrt{x² + y²} = \sqrt{x² + x^{-2p}\)
De afstand moet minimaal zijn, dus dit afleiden naar x en dan het nulpunt zoeken.

Klopt mijn redenering of ga ik in het begin al de mist in?
Omhoog

Bericht 09-11-'06, 21:41

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Hint: als de afstand minimaal is, is ook het kwadraat ervan minimaal; zo kan je met d² ipv d werken, vierkantwortel weg :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 09-11-'06, 21:57

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Als ik de afstand a² even een nieuwe functie noem g(x) ofzo dan is:
\(g(x) = x² + x^{-2p}\)
Afleiden:
\(g'(x) = 2x - 2px^{-2p-1} = 2x(1 - x^{-2p-2})\)
Als je dit gelijk stelt aan nul kom ik op een (positief) nulpunt, nl (1,0)

conclusie:

Dus is in x=1 is de afstand tss 1/x^p en de oorsprong minimaal?
Omhoog

Bericht 09-11-'06, 21:58

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

\(g'(x) = 2x - 2px^{-2p-1} = 2x(1 - x^{-2p-2})\)
Je bent een 'p' kwijt. :)
Omhoog

Bericht 09-11-'06, 21:59

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Dus is in x=1 is de afstand tss 1/x^p en de oorsprong minimaal?
Inderdaad.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 09-11-'06, 22:05

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Zoals Evilbro zegt ben ik een p vergeten, dan verandert de zaak toch volgens mij:
\(1 - px^{-2p-2} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[-2p-2]{\frac{1}{p}} \)
toch?
Omhoog

Bericht 09-11-'06, 22:22

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Dat had ik nog niet gezien, overheen gekeken. Dan krijg je dus:
\(2 - 2px^{ - 2\left( {p + 1} \right)} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{p} = x^{ - 2\left( {p + 1} \right)} \Leftrightarrow p = x^{2\left( {p + 1} \right)} \Leftrightarrow x = p^{\frac{1}{{2\left( {p + 1} \right)}}} \)
Ingeval van even p, ook nog de tegengestelde oplossing (symm tov O).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 10-11-'06, 08:55

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Om even volledig te zijn om een minimum te hebben moet de 2e afgeleide in dit punt positief zijn. Maar dat zal hier zonder rekenen wel zo zijn!
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 10-11-'06, 11:19

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Als de eerste afgeleide nul is, hoe kan de tweede afgeleide dan postitief zijn?
Omhoog

Bericht 10-11-'06, 11:50

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Als de eerste afgeleide nul is, hoe kan de tweede afgeleide dan postitief zijn?
Waarom zou dat niet kunnen? Voorbeeld:
\(f(x) = \frac{1}{6} x^3 - \frac{1}{2} x\)
\(f'(x) = \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2}\)
\(f''(x) = x\)
Zie
\(x=1\)
.
Omhoog

Bericht 10-11-'06, 11:57

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Ah ja, was wat verward, ik dacht als de eerste afgeleide nul was, de tweede dat ook was omdat de afgeleide van 0, 0 is. :)
Omhoog

Bericht 10-11-'06, 12:19

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Eerste afgeleide 0, dan: tweede afgeleide > 0 => min, tweede afgeleide < 0 => max.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 10-11-'06, 13:31

Pongping

Berichten: 91

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Hehe die vraag komt me bekend voor... Ook examen gehad van Inleiding tot de Hogere Wiskunde?
Omhoog

Bericht 10-11-'06, 13:39

Rov

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Ja, ik zit namelijk bij jouw in de les :) .
Omhoog

Bericht 10-11-'06, 15:40

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Kortste Afstand tot de oorsprong

Rov schreef:Iets waar ik al even mee zit:

Wat is de coordinaat van het punt het dichtst bij de oorsprong (0,0) van de functie met als voorschrift:
\(f(x) = \frac{1}{x^p}\)
met p>0.
Ter controle!

Omdat de raaklijn loodrecht staat op de voerstraal, werkt deze methode.

Snijd de lijn l: y=ax met f(x).

Noem de x-coördinaat van dit snijpunt x1 en eis dat het product van de rc, van de raaklijn in x1 aan de grafiek van f(x) en de lijn l, -1 is.

Dus:
\(a \cdot x_1=\frac{1}{x_1^p}\)
, dit geeft
\(a=\frac{1}{x_1^{p+1}}\)
Verder geldt:
\(a\cdot\frac{-p}{x_1^{p+1}}=-1\)
Elimineer a uit beide verg, dat geeft:
\(\frac{1}{x_1^{p+1}}\cdot\frac{-p}{x_1^{p+1}}=-1\)
M.a.g:
\(\left( x_1^{p+1} \right)^2=p\)
en met p>0 volgt:
\(x_1^{p+1}=\pm\sqrt{p}\)


Als f(x) gedefinieerd is voor x<0, zijn er twee opl.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”