Vraag ivm stijgen en dalen
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
- Berichten: 824
Vraag ivm stijgen en dalen
Hoi,
ik zit te worstelen met een bepaalde onduidelijkheid.
Wanneer stijgt of daalt iets?
Wanneer stijgt of daalt iets strikt?
Zoals je misschien al aanvoelde heeft dit te maken met afgeleiden.
Neem bijvoorbeelde functie x³, diens afgeleide is overal 0. Maar is die nu stijgend of strikt stijgend?
Aanvullende voorbeelden zijn altijd welkom..
Bedankt!
Stijn
ik zit te worstelen met een bepaalde onduidelijkheid.
Wanneer stijgt of daalt iets?
Wanneer stijgt of daalt iets strikt?
Zoals je misschien al aanvoelde heeft dit te maken met afgeleiden.
Neem bijvoorbeelde functie x³, diens afgeleide is overal 0. Maar is die nu stijgend of strikt stijgend?
Aanvullende voorbeelden zijn altijd welkom..
Bedankt!
Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
- Berichten: 5.679
Re: Vraag ivm stijgen en dalen
Een functie f is stijgend op een interval A als
f is (strikt) dalend als -f (strikt) stijgend is. Een constante functie is dus dalend en stijgend.
De functie f(x)=x3 is dus strikt stijgend.
Als f overal continu differentieerbaar is en overal geldt f'(x)>0, dan is f strikt stijgend. Als f'(x)[grotergelijk]0 dan is f in ieder geval stijgend, en misschien zelfs strikt stijgend (denk aan het x3 voorbeeld).
Ook niet-continue en/of niet-differentieerbare functies kunnen natuurlijk (strikt) stijgend zijn.
\(\forall x,y \in A: x>y \Rightarrow f(x) \geq f(y)\)
Strikt stijgend impliceert zelfs f(x) > f(y) in plaats van f(x) f(y).f is (strikt) dalend als -f (strikt) stijgend is. Een constante functie is dus dalend en stijgend.
De functie f(x)=x3 is dus strikt stijgend.
Als f overal continu differentieerbaar is en overal geldt f'(x)>0, dan is f strikt stijgend. Als f'(x)[grotergelijk]0 dan is f in ieder geval stijgend, en misschien zelfs strikt stijgend (denk aan het x3 voorbeeld).
Ook niet-continue en/of niet-differentieerbare functies kunnen natuurlijk (strikt) stijgend zijn.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
- Berichten: 824
Re: Vraag ivm stijgen en dalen
Er wordt van mij verwacht dat ik met eenvoudige middelen de volgende twee stellingen kan bewijzen:
(1) Als f stijgt over I dan is f'(x)[grotergelijk]0 voor elke x in I.
(2) Als f'(x)[grotergelijk]0 voor elke x in I, dan stijgt f over I.
(2) lijkt mij het makkelijkste bewijzen:
TB: Als f'(x)[grotergelijk]0 voor elke x in I, dan stijgt f over I.
Neem x > a met x,a willekeurig
Uit (2) weet ik dat:
Alle hulp is dus welkom!
Alvast bedankt voor jullie tijd
PS: bedankt Rogier voor de verduidelijkende uitleg
(1) Als f stijgt over I dan is f'(x)[grotergelijk]0 voor elke x in I.
(2) Als f'(x)[grotergelijk]0 voor elke x in I, dan stijgt f over I.
(2) lijkt mij het makkelijkste bewijzen:
TB: Als f'(x)[grotergelijk]0 voor elke x in I, dan stijgt f over I.
Neem x > a met x,a willekeurig
Uit (2) weet ik dat:
\(\lim_{x \rightarrow a} = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0\)
Aangezien het linkerlid groter of gelijk moet zijn aan 0, moet de teller van de breuk ook groter of gelijk zijn aan 0: \( f(x) \geq f(a)\)
Hieruit volgt dat de rij stijgt, want voor \( x > a\)
is \( f(x) \geq f(a)\)
Dit is een "bewijs" dat ik zelf in elkaar heb gestoken, dus het zal waarschijnlijk nog wel vol fouten zitten Alle hulp is dus welkom!
Alvast bedankt voor jullie tijd
PS: bedankt Rogier voor de verduidelijkende uitleg
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
- Berichten: 24.578
Re: Vraag ivm stijgen en dalen
Je aanpak is goed: je schrijft je gegeven uit en probeert dat te herleiden naar het gevraagde.
Opm: "Hieruit volgt dat de rij stijgt..." bedoel je waarschijnlijk functie ipv rij.
Voor (1), doe de omgekeerde redenering. Dit keer is gegeven dat x > a => f(x) > f(a).
Herschrijf naar de breuk van de afgeleide, merk op dat deze positief is en neem de limietovergang.
Opm: "Hieruit volgt dat de rij stijgt..." bedoel je waarschijnlijk functie ipv rij.
Voor (1), doe de omgekeerde redenering. Dit keer is gegeven dat x > a => f(x) > f(a).
Herschrijf naar de breuk van de afgeleide, merk op dat deze positief is en neem de limietovergang.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 824
Re: Vraag ivm stijgen en dalen
Dat bedoelde ik inderdaad (dat hele vorige hoofdstuk ging over rijen, zal daar wel door komen )Opm: "Hieruit volgt dat de rij stijgt..." bedoel je waarschijnlijk functie ipv rij.
Ik zag net wel een foutje in mijn vorige post.
Er staat:
\(\lim_{x \rightarrow a} = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0\)
Dit moet natuurlijk zijn:\(\lim_{x \rightarrow a} \left( \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right) \geq 0\)
GroetenBe careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
- Berichten: 24.578
Re: Vraag ivm stijgen en dalen
De terminilogie hieromtrent verschilt wel sterk, afh van de instelling of het land.
Enerzijds heb je: stijgend <-> strikt stijgend (dalend analoog), anderzijds gebruikt men ook niet-dalend <-> stijgend waarbij deze "stijgend" de rol speelt van de vorige "strikt stijgend"... (dalend analoog).
Enerzijds heb je: stijgend <-> strikt stijgend (dalend analoog), anderzijds gebruikt men ook niet-dalend <-> stijgend waarbij deze "stijgend" de rol speelt van de vorige "strikt stijgend"... (dalend analoog).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)