ik heb problemen met het oplossen van de volgende vraag:
Mijn oplossing:Beschouw de functie\(R^3 \rightarrow R: (x,y,z) \mapsto 2x-3y+z+5\)Toon aan dat f een eerste ordebenadering f heeft rond elk punt a
\(\lim_{(x,y,z) \rightarrow a} \left(\frac{|f(x,y,z)-g(x,y,z)|}{||(x,y,z)-a||}\right) = 0\)
a is een element van R³ dus:
\(a=(a_1,a_2,a_3)\)
Over g(x,y,z) weten we (dankzij de formule van de eerste orde benadering) dat:\(g(x,y,z)=f(a_1,a_2,a_3)+\sum D_if(a_1,a_2,a_3)((x,y,z)-(a_1,a_2,a_3))\)
met i = {1,2,3}.Deze partieel afgeleiden apart berekenen geeft:
\(D_1f(a_1,a_2,a_3)=2 ; D_2f(a_1,a_2,a_3)=-3 ; D_3f(a_1,a_2,a_3)=1\)
De limiet uit de opgave moet nul vormen, dus de teller uit de breuk moet 0 zijn:\(|f(x,y,z)-g(x,y,z)|=|2x-3y+z+5-\left(2(x-a_1)-3(y-a_2)+(z-a_3)\right)+2a_1-3a_2+a_3+5|\)
Het probleem is: als ik dit uitwerk kom ik niet op 0 Ik zal dus wel ergens fout zitten bij het zoeken van g(x) of bij het uitrekenen van de partieel afgeleiden, maar ik vind de fouten niet.
Bedankt voor jullie tijd!
Stijn
