Springen naar inhoud

periodieke breuken


  • Log in om te kunnen reageren

#1

MJB

    MJB


  • 0 - 25 berichten
  • 1 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 november 2006 - 18:21

kan iemand aantonen dat elke breuk die niet-eindig is, zeker periodiek is?? :)

grtjs Martijn

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 november 2006 - 12:34

kan iemand aantonen dat elke breuk die niet-eindig is, zeker periodiek is?? :)  

grtjs Martijn

Hint: Toon eerst aan dat als n :) :), dan is er een m ;) [rr] zo dat n een deler is van 10m-1.
Als k/n een breuk is, dan is er blijkbaar een r :) :) zo dat kr/(nr) (=k/r) een breuk is waarvan de noemer uit louter negens bestaat.
Toon vervolgens aan dat een breuk met een noemer die uit louter negens bestaat een periodieke mantisse heeft.

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 16 november 2006 - 12:44

kan iemand aantonen dat elke breuk die niet-eindig is, zeker periodiek is?? [rr]  

grtjs Martijn

Wanneer je de staartdeling uitvoert, krijg je als rest 0 wanneer de deling opgaat. Die breuk noem je eindig maar formeel gezien kan je deze ook als niet-eindig zien met periode het getal 0.
Gaat de deling niet op dan zal er steeds een eindige rest zijn kleiner dan de deler (de deler is nl ook eindig). En dat wil zeggen dat na een (eindig) aantal stappen weer een zelfde rest terugkomt zodat het delingsproces zich herhaalt.
Deze redenering is eenvoudig te generaliseren. Essentieel is: er is een eindig aantal stappen nodig!

Vb Deler heeft 3 cijfers de rest heeft dan maximaal 3 cijfers. Er zijn maar eindig veel getallen met 3 cijfers (of minder) zodat na een eindig aantal stappen eenzelfde rest terugkomt.

Getalvb: 237 delen op 290. (is wel aardig)

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 november 2006 - 14:11

Laat ik het maar even netjes bewijzen.
Gegeven p,q :) [rr].
Vraag: Toon aan dat de decimaalontwikkeling van p/q eindig is of vanaf een zeker moment repeterend.
Bewijs:
We mogen wel aannemen dat p<q en dat ggd(p,q) = 1.
Als q alleen deelbaar is door de priemgetallen 2 en 5, dus p=2a5b en c = max(a,b), dan is 10c.(p/q) een heel getal (namelijk d = 2c-a5c-bp) en p/q = d/10c. Dit kun je schrijven als een breuk met eindige staart.

Stel nu dus dat x = p/q met p/q<1, ggd(p,q)=1 en ggd(q,10) = 1.
Dan is volgens Euler 10φ(q) - 1 deelbaar door q.
Stel r is de kleinste waarde waarvoor 10r - 1 deelbaar door q.
Dan is 10rx = 10rp/q = (mq+1)p/q (voor zekere m) = mp + x.
Dus r posities opschuiven levert een heel getal mp + een deel achter de komma dat weer gelijk is aan x=p/q. Dus r posities opschuiven verandert niet het deel achter de komma. Het deel achter de komma repeteert dus na r posities.

Als x = p/q = p/(AB) waarbij ggd(p,q)=1, ggd(B,10)=1 en A bevat alleen de priemfactoren 2 en 5, dan kunnen we zoals we eerder aantoonden x met 10c vermenigvuldigen zo dat 10cx = P/B (voor zekere c). P/B = C + R/B (we splitsen even het deel C voor de komma af, zodat R/B<1).
De rest is eenvoudig.


qed





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures