Nee, sorry, ik zie niet in dat de som 2 is. Ik zie wel dat de som convergent is, want een machtsfunctie stijgt minder snel dan een exponentiële functie. Je kan het natuurlijk ook bewijzen met d'Alembert of Cauchy. Maar eigenlijk staat in de opgave dat je het moet bewijzen met de vergelijkingstest (A.Square heeft dat al deels gedaan). Dus ik vroeg me af hoe je mbv de vergelijkingstest bewijzen dat
Pongping schreef:Nee, sorry, ik zie niet in dat de som 2 is. Ik zie wel dat de som convergent is, want een machtsfunctie stijgt minder snel dan een exponentiële functie. Je kan het natuurlijk ook bewijzen met d'Alembert of Cauchy. Maar eigenlijk staat in de opgave dat je het moet bewijzen met de vergelijkingstest (A.Square heeft dat al deels gedaan). Dus ik vroeg me af hoe je mbv de vergelijkingstest bewijzen dat
\(\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^{k}}\)
convergent is.
Sorry...
het is aan te tonen door
\(\sum_{k=1}^\infty 2^{-tk}}=\frac{1}{2^t-1}\)
af te leiden naar t en finaal t=1 te stellen. (ik weet niet of je de stelling rond omwisselen van som en afleidingsoperator kent, ik weet ook niet of er een eenvoudiger manier is). De vergelijkingstest is al gebruikt, je zal daarvoor trouwens toch ooit eentje effectief moeten bepalen? (of ben ik die tests nu door mekaar aan het slaan?)
