Laatste berichten
-
23:56
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling
-
22:05
projectiel 7
-
21:51
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 10
-
21:48
Verschil tussen deze 2 vragen 4
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
12:15
Weerfrustratie 5
-
11:55
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
-
19 apr
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
18 apr
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Afstand in de ruimte
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 3.330
Afstand in de ruimte
Bereken de afstand tussen het punt (3,-1,4) en de rechte x=-2+3t, y=-2t en z=1+4t.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Re: Afstand in de ruimte
Transleer de lijn over de vector (3,-1,4)T.
De zlijn ziet er dan zo uit x = -2+3t-3, y=-2t+1 en z=1+4t-4.
Je zoekt dus de kortste afstand van de oorsprong tot die lijn.
Een punt op die lijn ziet er zo uit (-5+3t,-2t+1,-3+4t).
De afstand van zo'n punt tot (0,0) is de wortel uit
(-5+3t)2+(-2t+1)2+(-3+4t)2.
Dat moet je minimaliseren.
De zlijn ziet er dan zo uit x = -2+3t-3, y=-2t+1 en z=1+4t-4.
Je zoekt dus de kortste afstand van de oorsprong tot die lijn.
Een punt op die lijn ziet er zo uit (-5+3t,-2t+1,-3+4t).
De afstand van zo'n punt tot (0,0) is de wortel uit
(-5+3t)2+(-2t+1)2+(-3+4t)2.
Dat moet je minimaliseren.
-
- Berichten: 2.242
Re: Afstand in de ruimte
Noem het punt P en de recht l.
We beschouwen een denkbeeldig hulpvlak alpha dat door P gaat en loodrecht op l, het snijpunt van l en alpha noemen we Q. Nu is de afstand van het punt tot de recht
Het hulpvlak heeft als normaalvector de richtvector van de rechte (ze staan loodrecht op elkaar) dus: 3x-2y+4z + d = 0. d kunnen we zoeken met het punt P dat in alpha ligt. Invullen geeft:
3*3-2*(-1)+4*4 + d = 0 en dus d = 27.
\(\alpha:\)3x-2y+4z + 27 = 0
Nu zoeken we Q het snijpunt van alpha met de recht l.
Dat wil zeggen, de parametervgl van de rechte in alpha steken, en kijken voor welke waarde van t dit klopt.
We beschouwen een denkbeeldig hulpvlak alpha dat door P gaat en loodrecht op l, het snijpunt van l en alpha noemen we Q. Nu is de afstand van het punt tot de recht
\(d(P,l) = d(P, \alpha) = |PQ|\)
. We moeten nu dus alleen nog |PQ| zoeken.Het hulpvlak heeft als normaalvector de richtvector van de rechte (ze staan loodrecht op elkaar) dus: 3x-2y+4z + d = 0. d kunnen we zoeken met het punt P dat in alpha ligt. Invullen geeft:
3*3-2*(-1)+4*4 + d = 0 en dus d = 27.
\(\alpha:\)3x-2y+4z + 27 = 0
Nu zoeken we Q het snijpunt van alpha met de recht l.
Dat wil zeggen, de parametervgl van de rechte in alpha steken, en kijken voor welke waarde van t dit klopt.
\(3x-2y+4z + 19 = -6+9t-4t+4+16t + 27 = 0 \Leftrightarrow t =- \frac{25}{21}\)
Dan vullen we deze t in in de parametervgl, en dit is het punt Q:\(\left( -\frac{39}{7}, \frac{50}{21}, - \frac{79}{21} \right)\)
Nu nog even |PQ| zoeken en dat is de afstand:\(PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)² + (z_2 - z_1)²} \approx 145,2\)
Ik zal waarschijnlijk ergens fout gerekend hebben, maar dit is volgens mij toch een correcte methode.Re: Afstand in de ruimte
Transleer de lijn over de vector (3,-1,4)T.
De lijn ziet er dan zo uit x = -2+3t-3, y=-2t+1 en z=1+4t-4.
Je zoekt dus de kortste afstand van de oorsprong tot die lijn.
Een punt op die lijn ziet er zo uit (-5+3t,-2t+1,-3+4t).
De afstand van zo'n punt tot (0,0) is de wortel uit
(-5+3t)2+(-2t+1)2+(-3+4t)2.
Dat moet je minimaliseren. Differentiëren geeft
2.((-5+3t).3 + (-2t+1).(-2) + (-3+4t).4) = 0.
t = 1
Invullen geeft
De lijn ziet er dan zo uit x = -2+3t-3, y=-2t+1 en z=1+4t-4.
Je zoekt dus de kortste afstand van de oorsprong tot die lijn.
Een punt op die lijn ziet er zo uit (-5+3t,-2t+1,-3+4t).
De afstand van zo'n punt tot (0,0) is de wortel uit
(-5+3t)2+(-2t+1)2+(-3+4t)2.
Dat moet je minimaliseren. Differentiëren geeft
2.((-5+3t).3 + (-2t+1).(-2) + (-3+4t).4) = 0.
t = 1
Invullen geeft
\( \sqrt{(-5+3)^2+(-2+1)^2+(-3+4)^2} = \sqrt{6}\)
Re: Afstand in de ruimte
Rov schreef:Noem het punt P en de recht l.
We beschouwen een denkbeeldig hulpvlak alpha dat door P gaat en loodrecht op l, het snijpunt van l en alpha noemen we Q. Nu is de afstand van het punt tot de recht\(d(P,l) = d(P, \alpha) = |PQ|\). We moeten nu dus alleen nog |PQ| zoeken.
Het hulpvlak heeft als normaalvector de richtvector van de rechte (ze staan loodrecht op elkaar) dus: 3x-2y+4z + d = 0. d kunnen we zoeken met het punt P dat in alpha ligt. Invullen geeft:
3*3-2*(-1)+4*4 + d = 0 en dus d = -27.
\(\alpha:\)3x-2y+4z - 27 = 0
Nu zoeken we Q het snijpunt van alpha met de recht l.
Dat wil zeggen, de parametervgl van de rechte in alpha steken, en kijken voor welke waarde van t dit klopt.
\(3x-2y+4z -27 = -6+9t+4t+4+16t - 27 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)Dan vullen we deze t in in de parametervgl, en dit is het punt Q:
(1,-2,5)[/tex]
Nu nog even |PQ| zoeken en dat is de afstand:
\(PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)² + (z_2 - z_1)²} = \sqrt 6\)Ik zal waarschijnlijk nergens fout gerekend hebben, en dit is volgens mij een correcte methode.
-
- Berichten: 3.330
Re: Afstand in de ruimte
De uitkomst klopt. 
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 24.578
Re: Afstand in de ruimte
Eventueel handige aanvulling, op deze pagina zie je een elegante formule afgeleid voor de afstand punt-rechte in 3D.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 2.242
Re: Afstand in de ruimte
Bedankt PeterPan voor de verbeteringen, ik twijfel altijd of de vgl van een vlak nu
ax+by+cz+d=0 is of ax+by+cz=d.
ax+by+cz+d=0 is of ax+by+cz=d.
-
- Berichten: 24.578
Re: Afstand in de ruimte
Dat kan allebei, je moet alleen consequent zijn en opletten met de tekens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
