Springen naar inhoud

Afstand in de ruimte


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 27 november 2006 - 12:52

Bereken de afstand tussen het punt (3,-1,4) en de rechte x=-2+3t, y=-2t en z=1+4t.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 november 2006 - 13:27

Transleer de lijn over de vector (3,-1,4)T.
De zlijn ziet er dan zo uit x = -2+3t-3, y=-2t+1 en z=1+4t-4.
Je zoekt dus de kortste afstand van de oorsprong tot die lijn.
Een punt op die lijn ziet er zo uit (-5+3t,-2t+1,-3+4t).
De afstand van zo'n punt tot (0,0) is de wortel uit
(-5+3t)2+(-2t+1)2+(-3+4t)2.
Dat moet je minimaliseren.

#3

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 november 2006 - 13:29

Noem het punt P en de recht l.

We beschouwen een denkbeeldig hulpvlak alpha dat door P gaat en loodrecht op l, het snijpunt van l en alpha noemen we Q. Nu is de afstand van het punt tot de recht LaTeX . We moeten nu dus alleen nog |PQ| zoeken.

Het hulpvlak heeft als normaalvector de richtvector van de rechte (ze staan loodrecht op elkaar) dus: 3x-2y+4z + d = 0. d kunnen we zoeken met het punt P dat in alpha ligt. Invullen geeft:
3*3-2*(-1)+4*4 + d = 0 en dus d = 27.
LaTeX 3x-2y+4z + 27 = 0

Nu zoeken we Q het snijpunt van alpha met de recht l.
Dat wil zeggen, de parametervgl van de rechte in alpha steken, en kijken voor welke waarde van t dit klopt.
LaTeX

Dan vullen we deze t in in de parametervgl, en dit is het punt Q:
LaTeX

Nu nog even |PQ| zoeken en dat is de afstand:

LaTeX

Ik zal waarschijnlijk ergens fout gerekend hebben, maar dit is volgens mij toch een correcte methode.

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 november 2006 - 13:36

Transleer de lijn over de vector (3,-1,4)T.
De lijn ziet er dan zo uit x = -2+3t-3, y=-2t+1 en z=1+4t-4.
Je zoekt dus de kortste afstand van de oorsprong tot die lijn.
Een punt op die lijn ziet er zo uit (-5+3t,-2t+1,-3+4t).
De afstand van zo'n punt tot (0,0) is de wortel uit
(-5+3t)2+(-2t+1)2+(-3+4t)2.
Dat moet je minimaliseren. DifferentiŽren geeft
2.((-5+3t).3 + (-2t+1).(-2) + (-3+4t).4) = 0.
t = 1
Invullen geeft LaTeX

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 november 2006 - 14:37

Noem het punt P en de recht l.

We beschouwen een denkbeeldig hulpvlak alpha dat door P gaat en loodrecht op l, het snijpunt van l en alpha noemen we Q. Nu is de afstand van het punt tot de recht LaTeX

. We moeten nu dus alleen nog |PQ| zoeken.

Het hulpvlak heeft als normaalvector de richtvector van de rechte (ze staan loodrecht op elkaar) dus: 3x-2y+4z + d = 0. d kunnen we zoeken met het punt P dat in alpha ligt. Invullen geeft:
3*3-2*(-1)+4*4 + d = 0 en dus d = -27.
LaTeX 3x-2y+4z - 27 = 0

Nu zoeken we Q het snijpunt van alpha met de recht l.
Dat wil zeggen, de parametervgl van de rechte in alpha steken, en kijken voor welke waarde van t dit klopt.
LaTeX

Dan vullen we deze t in in de parametervgl, en dit is het punt Q:
(1,-2,5)[/tex]

Nu nog even |PQ| zoeken en dat is de afstand:

LaTeX

Ik zal waarschijnlijk nergens fout gerekend hebben, en dit is volgens mij een correcte methode.


#6

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 27 november 2006 - 17:13

De uitkomst klopt. :)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 november 2006 - 17:26

Eventueel handige aanvulling, op deze pagina zie je een elegante formule afgeleid voor de afstand punt-rechte in 3D.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 november 2006 - 19:08

Bedankt PeterPan voor de verbeteringen, ik twijfel altijd of de vgl van een vlak nu
ax+by+cz+d=0 is of ax+by+cz=d.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 november 2006 - 20:27

Dat kan allebei, je moet alleen consequent zijn en opletten met de tekens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures