Springen naar inhoud

[lineaire algebra] Basis en vectorruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 28 november 2006 - 20:51

Mij lukt de volgende opgave niet. Ik moet bewijzen dat iedere v uit V op precies ťťn manier geschreven kan worden als v = c1v1 + ... + cnvn met c1,...,cn in R, waarbij {v1,...,vn} een basis is van V.
Kan iemand mij helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 november 2006 - 21:00

Een basis is per definite voortbrengend, dus je weet al dat v te schrijven is als een lineaire combinatie van de basisvectoren.

Er rest je dan nog aan te tonen dat die lineaire combinatie uniek is:
- ga uit van twee lineaire combinaties met verschillende coŽfficiŽnten, maak het verschil van beiden, dit moet uiteraard 0 zijn.
- toon aan dat daardoor de coŽfficiŽnten gelijk moeten zijn (gebruik de lineaire onafhankelijkheid van de basis).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 28 november 2006 - 21:18

Bedoel je dan: v= b1v1+...+bnvn met b1,...,bn in R.
En dan v-v=(c1-b1)v1+...+(cn-bn)vn

Ik weet dan niet hoe ik verder moet.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 november 2006 - 21:40

Je schrijft v dus op twee manieren:

LaTeX

LaTeX

Maak het verschil:

LaTeX

Maar de v's zijn basisvectoren, dus lineair onafhankelijk.
Wat zegt dat over de coŽfficiŽnten als je de nulvector wil krijgen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 november 2006 - 21:57

Ja kan v schrijven als:

LaTeX met LaTeX
maar ook als
LaTeX met LaTeX

Maak je het verschil:
LaTeX
Maar de basis is lineair onafhankelijk en dus is de factor voor de basisvector gelijk aan nul, anders gezegd:
LaTeX , LaTeX in het algemeen:
LaTeX
Die mu's of lambda's of hoe je het ook noemt zijn dus uniek.

Edit: Damn, te laat

#6

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 29 november 2006 - 17:02

Oh ok, bedankt voor jullie uitleg! Ik kwam niet op de stap om v op nog een manier te schrijven met andere coŽfficiŽnten.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 november 2006 - 17:41

Klassieke strategie om uniciteit te bewijzen, uit het ongerijmde: veronderstel niet uniek en laat zien dat ze gelijk zijn (equivalent: dat hun verschil 0 is).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures