Springen naar inhoud

[Wiskunde] Kegelsneden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Mendelevium

    Mendelevium


  • >250 berichten
  • 343 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 november 2006 - 13:08

In de aanloop naar de examens had ik nog enkele extra oefeningen gemaakt maar ik heb over een paar oefeningen enkele opmerkingen.

bij de eerste vraag klopt mijn antwoord niet geheel met wat ik moet uikomen, waar ben ik mis?

1.) Is de volgende kegelsnede ontaard? Zo ja, zoek de componenten.
K: 4x≤ - 12xy + 9y≤ + 6xz Ė 9yz Ė 4z≤ = 0

Oplossing:
PartiŽle afgeleide naar x: 8x Ė 12y + 6z
PartiŽle afgeleide naar y: -12x + 18y -9z
PartiŽle afgeleide naar z: 6x -9y - 8z

(3;2;0) is een dubbelpunt op K
(-2;0;1) een gewoon punt op K

De rechte door deze punten: 2x Ė 3y + 4z

(2x Ė 3y + 4z)(ax + by +cz) = 4x≤ - 12xy + 9y≤ + 6xz Ė 9yz Ė 4z≤

2ax≤ + 2bxy + 2cxz Ė 3axy Ė 3by≤ - 3cyz + 4axz + 4byz + 4cz≤ = 0

2a = 4 => a=2
-3b = 9 => b=-3
4c = 4 => c=1

(2x Ė 3y + 4z)(2x Ė 3y + z) => 4x≤ - 12xy + 9y≤ + 10xz Ė 15yz - 4z≤


Hiervan heb ik geen antwoord maar ik denk dat ik mis ben!

2.) Zoek een vergelijking van de kegelsneden die raken aan l (y = 0) in A (2,0,1) en aan m (x = 0) in B (0,3,1)

l: PartiŽle afgeleide naar y in het punt A: 1
m: PartiŽle afgeleide naar x in het punt B: 1

ax≤ + bxy + dy≤ + cxz + eyz + fz≤ = 0

PartiŽle afgeleide naar x: 2ax + by + cz
PartiŽle afgeleide naar y: bx + 2dey + ez
PartiŽle afgeleide naar z: cx + ey + 2fz

4a + c = 0
2b + e = 1
2c+ 2f = 0

3b + c = 1
6d + e = 0
3e + 2f = 0

=> -xy + 3yz = 0 => y(-x + 3z) = 0


ik denk dat het juist is, maar ik ben het niet zeker:

3.) Bepaal een gereduceerde vergelijking van de volgende kegelsnede: K: x≤ - 4 xy + 2y≤ + 8xz - 7z≤ = 0

hier kom ik uit: x'≤ - 63y'≤ + 126z'≤

al de andere oefeningen heb ik wel gevonden en of ben ik helemaal zeker

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 29 november 2006 - 16:35

Mogelijk heb je wat aan een afbeelding uit een herleiding uit cirkels:

Geplaatste afbeelding

#3

Mendelevium

    Mendelevium


  • >250 berichten
  • 343 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 november 2006 - 18:30

Mogelijk heb je wat aan een afbeelding uit een herleiding uit cirkels:

Geplaatste afbeelding

welke vraag kan ik daarmee oplossen?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 november 2006 - 18:42

Kegelsneden zijn voor mij al enkele jaren geleden, ik kan dus maar een beetje helpen...

1) Ik heb m'n cursus niet bij de hand, dus het verband tussen de asymptoten/ontaardingen en dubbelpunten herinner ik me niet meer. Je ontaarding is inderdaad fout, maar ik vermoed door rekenfouten. Het is natuurlijk altijd mogelijk direct uit te gaan van twee algemene rechten en dan een 6x6-stelsel op te lossen, maar het kan dus eleganter. In elk geval, je zou moeten vinden:

(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0

Moest je op voorhand eerst eenvoudig willen controleren of K ontaard is, dan kan met de determinant (die is dan 0).

2) Ik weet niet welke voorwaarden je allemaal hebt ingevuld, maar per raaklijn leg je twee voorwaarden op en een kegelsnede is uniek bepaald door 5 (onafhankelijke) voorwaarden. Als je alles invult en oplost, heb je dus nog ťťn vrije parameter (er zijn dus oneindig veel kegelsneden die hieraan voldoen). De voorwaarden zijn

- A moet op K liggen
- B moet op K liggen
- dK/dx in A moet 0 zijn
- dK/dy in B moet 0 zijn

(d staat hier voor een partiŽle afgeleide). Ik vind (met k de vrije parameter):

LaTeX

3) Doe je dit op een "meetkundige manier" (je draait en je verschuift), of via matrixrekening (diagonalisering?)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Mendelevium

    Mendelevium


  • >250 berichten
  • 343 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 november 2006 - 18:58

Kegelsneden zijn voor mij al enkele jaren geleden, ik kan dus maar een beetje helpen...

1) Ik heb m'n cursus niet bij de hand, dus het verband tussen de asymptoten/ontaardingen en dubbelpunten herinner ik me niet meer. Je ontaarding is inderdaad fout, maar ik vermoed door rekenfouten. Het is natuurlijk altijd mogelijk direct uit te gaan van twee algemene rechten en dan een 6x6-stelsel op te lossen, maar het kan dus eleganter. In elk geval, je zou moeten vinden:

(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0

Moest je op voorhand eerst eenvoudig willen controleren of K ontaard is, dan kan met de determinant (die is dan 0).

2) Ik weet niet welke voorwaarden je allemaal hebt ingevuld, maar per raaklijn leg je twee voorwaarden op en een kegelsnede is uniek bepaald door 5 (onafhankelijke) voorwaarden. Als je alles invult en oplost, heb je dus nog ťťn vrije parameter (er zijn dus oneindig veel kegelsneden die hieraan voldoen). De voorwaarden zijn

- A moet op K liggen
- B moet op K liggen
- dK/dx in A moet 0 zijn
- dK/dy in B moet 0 zijn

(d staat hier voor een partiŽle afgeleide). Ik vind (met k de vrije parameter):

LaTeX



3) Doe je dit op een "meetkundige manier" (je draait en je verschuift), of via matrixrekening (diagonalisering?)

1) had ik al berekend die determinant :wink:

3) matrixrekening, maar ik heb mijn hele berekening er niet gezet omdat ik bijna helemaal zeker ben dat het juist is.

bedankt, ik zal 1 nog eens bekijken op rekenfouten (ik dacht het eigenlijk dat er ergens een rekenfout moest zijn) en 2 zal ik ook nog eens bekijken.

Maar ik kan aan niet zoveel mensen uit mijn omgeving(buiten leerkrachten natuurlijk) uitleg vragen, want je ziet kegelsneden enkel in de 8 uur

(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0

achter die 4 en die -1 moet er zekers nog een z staan?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 november 2006 - 19:45

3) matrixrekening, maar ik heb mijn hele berekening er niet gezet omdat ik bijna helemaal zeker ben dat het juist is.

Het gaat vooral om de methode, als je die begrijpt zijn rekenfoutjes nog mogelijk, maar dat geldt ook op een test.
Ik heb het niet nagerekend, maar als je echt wil kan ik het wel eens doen (lijkt me niet nodig).

Maar ik kan aan niet zoveel mensen uit mijn omgeving(buiten leerkrachten natuurlijk) uitleg vragen, want je ziet kegelsneden enkel in de 8 uur

Klopt, en in Nederland worden kegelsneden niet op deze manier (analytisch en even grondig) behandeld, in het secundair onderwijs.

(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0

achter die 4 en die -1 moet er zekers nog een z staan?

Welja, dat maakt niets uit: overgang homogeen -> cartesisch is z = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Mendelevium

    Mendelevium


  • >250 berichten
  • 343 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 november 2006 - 20:26

3) matrixrekening, maar ik heb mijn hele berekening er niet gezet omdat ik bijna helemaal zeker ben dat het juist is.

Het gaat vooral om de methode, als je die begrijpt zijn rekenfoutjes nog mogelijk, maar dat geldt ook op een test.
Ik heb het niet nagerekend, maar als je echt wil kan ik het wel eens doen (lijkt me niet nodig).

nee, niet echt nodig, ik snap het daarom denk ik dat uitgez. rekenfoutjes het antwoord klopt!

Klopt, en in Nederland worden kegelsneden niet op deze manier (analytisch en even grondig) behandeld, in het secundair onderwijs.

worden kegelsneden in nederland dan bijna niet behandeld in het secundair onderwijs? Hoe doen ze dat dan hogerop of zie je dat hogerop eigenlijk nog niet zoveel?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 november 2006 - 20:34

Ze zien kegelsneden wel, maar (voor zover ik weet) niet meer in die algemene vorm (alleen de 'standaard'kegelsneden, x≤/a≤ Ī y≤/b≤ = 1 en y≤ = 2px).

In verdere studies kom je dat nog nauwelijks tegen, (exact) wetenschappelijke richtingen krijgen voornamelijk analyse/calculus, lineaire algebra en statistiek, humane wetenschappen zo goed als enkel (toegepaste) statistiek.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 november 2006 - 21:03

wij hebben nu juist kegelsneden in hun algemene vorm gezien, met alles erop en eraan
(1e bach burg ir)

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 november 2006 - 21:08

Wellicht in Gent? Daar is een apart vak meetkunde (voor zover ik weet alleen daar voor ir's), tenzij je het bij algebra zag misschien...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 november 2006 - 21:11

jep, in gent in het vak meetkunde, is er in brussel, leuven, .. dan geen meetkunde in het eerste jaar?

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 november 2006 - 21:14

Er wordt wel wat meetkunde gezien (bijvoorbeeld bij "wiskundige technieken" of in het kader van "lineaire algebra"), maar er is geen apart vak voor.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 30 november 2006 - 12:18

Tav.Topichouder Mendelevium ea geinteresseerden.

Ik tekende een kegelsnede,maar kon uit de snede geen ellipsvorm ontdekken; ik projecteerde elk punt van de kegelsnede op de desbetreffende horizontale doorsnede en verkreeg zo het model.

Waar kan ik de brandpunten van de wrs.(veronderstelde)ellips (twee stuks?) vinden?

Wat is de fout in mijn tekenmethode?

#14

Mendelevium

    Mendelevium


  • >250 berichten
  • 343 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 november 2006 - 18:42

1) Ik heb m'n cursus niet bij de hand, dus het verband tussen de asymptoten/ontaardingen en dubbelpunten herinner ik me niet meer. Je ontaarding is inderdaad fout, maar ik vermoed door rekenfouten. Het is natuurlijk altijd mogelijk direct uit te gaan van twee algemene rechten en dan een 6x6-stelsel op te lossen, maar het kan dus eleganter. In elk geval, je zou moeten vinden:

(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0

Moest je op voorhand eerst eenvoudig willen controleren of K ontaard is, dan kan met de determinant (die is dan 0).


Ik heb het gevonden, rekenfout gemaakt (kan gebeuren :wink: )

2) Ik weet niet welke voorwaarden je allemaal hebt ingevuld, maar per raaklijn leg je twee voorwaarden op en een kegelsnede is uniek bepaald door 5 (onafhankelijke) voorwaarden. Als je alles invult en oplost, heb je dus nog ťťn vrije parameter (er zijn dus oneindig veel kegelsneden die hieraan voldoen). De voorwaarden zijn

- A moet op K liggen
- B moet op K liggen
- dK/dx in A moet 0 zijn
- dK/dy in B moet 0 zijn

(d staat hier voor een partiŽle afgeleide). Ik vind (met k de vrije parameter):

LaTeX


Heb het eens geprobeerd (die cijfers achter de a zijn gewoon cijfers om een andere a te kunnen defiŽneren; ik kon evengoed 6 verschillende letters gebruiken):

LaTeX

A(2;0;1)
LaTeX

B(0;3;1)
LaTeX


dK/dx in A: LaTeX


dK/dy in B: LaTeX

LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

maar wat moet ik nu doen?
ben ik eigenlijk al juist tot nu toe?

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 november 2006 - 21:06

Het ligt mss aan mij, maar ik vind die A11... nogal verwarrend, ik zie ook niet direct hoe je aan de laatste 4 vergelijkingen komt.

Even opnieuw: ax≤+by≤+cz≤+dxy+exz+fyz = 0

A ligt op K: 4a + c + 2e = 0
B ligt op K: 9b + c + 3f = 0
dK/dx in A: 4a + e = 0
dK/dy in B: 6b + f = 0

Merk op dat de coŽfficiŽnt d (die van xy) niet voorkomt.
Dit levert dus een stelsel van 4 vergelijkingen in 5 onbekenden.

Je weet (of kan nagaan) dat je nog ťťn vrije parameter zal hebben. In feite had je die in het begin ook kunnen wegdelen in de algemene vergelijking, zodat we in het totaal 5 ipv 6 onbepaalde coŽfficiŽnten hadden. Vermits de uiteindelijke vergelijking ook maar bepaald zal zijn op een constante factor na, kunnen we ťťn onbekende kiezen. Je kan {a,b,c,e} oplossen in functie van f, of direct f al gelijkstellen aan, bijvoorbeeld, 1.

We krijgen zo een 4x4-stelsel:

LaTeX

Op te lossen met een methode naar keuze, ik vind:
a = - 3/8 , b = - 1/6 , c = - 3/2 , e = 3/2

LaTeX

De coŽfficiŽnt van xy lijkt verschillend (tov m'n vorige oplossing), maar dat kan je in die constante (toen k, nu d) steken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures