In de aanloop naar de examens had ik nog enkele extra oefeningen gemaakt maar ik heb over een paar oefeningen enkele opmerkingen.
bij de eerste vraag klopt mijn antwoord niet geheel met wat ik moet uikomen, waar ben ik mis?
1.) Is de volgende kegelsnede ontaard? Zo ja, zoek de componenten.
K: 4x² - 12xy + 9y² + 6xz 9yz 4z² = 0
Oplossing:
Partiële afgeleide naar x: 8x 12y + 6z
Partiële afgeleide naar y: -12x + 18y -9z
Partiële afgeleide naar z: 6x -9y - 8z
(3;2;0) is een dubbelpunt op K
(-2;0;1) een gewoon punt op K
De rechte door deze punten: 2x 3y + 4z
(2x 3y + 4z)(ax + by +cz) = 4x² - 12xy + 9y² + 6xz 9yz 4z²
2ax² + 2bxy + 2cxz 3axy 3by² - 3cyz + 4axz + 4byz + 4cz² = 0
2a = 4 => a=2
-3b = 9 => b=-3
4c = 4 => c=1
(2x 3y + 4z)(2x 3y + z) => 4x² - 12xy + 9y² + 10xz 15yz - 4z²
Hiervan heb ik geen antwoord maar ik denk dat ik mis ben!
2.) Zoek een vergelijking van de kegelsneden die raken aan l (y = 0) in A (2,0,1) en aan m (x = 0) in B (0,3,1)
l: Partiële afgeleide naar y in het punt A: 1
m: Partiële afgeleide naar x in het punt B: 1
ax² + bxy + dy² + cxz + eyz + fz² = 0
Partiële afgeleide naar x: 2ax + by + cz
Partiële afgeleide naar y: bx + 2dey + ez
Partiële afgeleide naar z: cx + ey + 2fz
4a + c = 0
2b + e = 1
2c+ 2f = 0
3b + c = 1
6d + e = 0
3e + 2f = 0
=> -xy + 3yz = 0 => y(-x + 3z) = 0
ik denk dat het juist is, maar ik ben het niet zeker:
3.) Bepaal een gereduceerde vergelijking van de volgende kegelsnede: K: x² - 4 xy + 2y² + 8xz - 7z² = 0
hier kom ik uit: x'² - 63y'² + 126z'²
al de andere oefeningen heb ik wel gevonden en of ben ik helemaal zeker
Laatste berichten
-
21:00
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 3
-
20:18
Rood laserlicht 1
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
10:44
Schroefdraad berekening 8
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[Wiskunde] Kegelsneden
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 4.502
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
Mogelijk heb je wat aan een afbeelding uit een herleiding uit cirkels:
-
- Berichten: 343
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
welke vraag kan ik daarmee oplossen?oktagon schreef:Mogelijk heb je wat aan een afbeelding uit een herleiding uit cirkels:
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
Kegelsneden zijn voor mij al enkele jaren geleden, ik kan dus maar een beetje helpen...
1) Ik heb m'n cursus niet bij de hand, dus het verband tussen de asymptoten/ontaardingen en dubbelpunten herinner ik me niet meer. Je ontaarding is inderdaad fout, maar ik vermoed door rekenfouten. Het is natuurlijk altijd mogelijk direct uit te gaan van twee algemene rechten en dan een 6x6-stelsel op te lossen, maar het kan dus eleganter. In elk geval, je zou moeten vinden:
(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0
Moest je op voorhand eerst eenvoudig willen controleren of K ontaard is, dan kan met de determinant (die is dan 0).
2) Ik weet niet welke voorwaarden je allemaal hebt ingevuld, maar per raaklijn leg je twee voorwaarden op en een kegelsnede is uniek bepaald door 5 (onafhankelijke) voorwaarden. Als je alles invult en oplost, heb je dus nog één vrije parameter (er zijn dus oneindig veel kegelsneden die hieraan voldoen). De voorwaarden zijn
- A moet op K liggen
- B moet op K liggen
- dK/dx in A moet 0 zijn
- dK/dy in B moet 0 zijn
(d staat hier voor een partiële afgeleide). Ik vind (met k de vrije parameter):
1) Ik heb m'n cursus niet bij de hand, dus het verband tussen de asymptoten/ontaardingen en dubbelpunten herinner ik me niet meer. Je ontaarding is inderdaad fout, maar ik vermoed door rekenfouten. Het is natuurlijk altijd mogelijk direct uit te gaan van twee algemene rechten en dan een 6x6-stelsel op te lossen, maar het kan dus eleganter. In elk geval, je zou moeten vinden:
(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0
Moest je op voorhand eerst eenvoudig willen controleren of K ontaard is, dan kan met de determinant (die is dan 0).
2) Ik weet niet welke voorwaarden je allemaal hebt ingevuld, maar per raaklijn leg je twee voorwaarden op en een kegelsnede is uniek bepaald door 5 (onafhankelijke) voorwaarden. Als je alles invult en oplost, heb je dus nog één vrije parameter (er zijn dus oneindig veel kegelsneden die hieraan voldoen). De voorwaarden zijn
- A moet op K liggen
- B moet op K liggen
- dK/dx in A moet 0 zijn
- dK/dy in B moet 0 zijn
(d staat hier voor een partiële afgeleide). Ik vind (met k de vrije parameter):
\(9x^2 + 36kxy - 36xz + 4y^2 - 24yz + 36z^2 = 0\)
3) Doe je dit op een "meetkundige manier" (je draait en je verschuift), of via matrixrekening (diagonalisering?)"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 343
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
1) had ik al berekend die determinantTD! schreef:Kegelsneden zijn voor mij al enkele jaren geleden, ik kan dus maar een beetje helpen...
1) Ik heb m'n cursus niet bij de hand, dus het verband tussen de asymptoten/ontaardingen en dubbelpunten herinner ik me niet meer. Je ontaarding is inderdaad fout, maar ik vermoed door rekenfouten. Het is natuurlijk altijd mogelijk direct uit te gaan van twee algemene rechten en dan een 6x6-stelsel op te lossen, maar het kan dus eleganter. In elk geval, je zou moeten vinden:
(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0
Moest je op voorhand eerst eenvoudig willen controleren of K ontaard is, dan kan met de determinant (die is dan 0).
2) Ik weet niet welke voorwaarden je allemaal hebt ingevuld, maar per raaklijn leg je twee voorwaarden op en een kegelsnede is uniek bepaald door 5 (onafhankelijke) voorwaarden. Als je alles invult en oplost, heb je dus nog één vrije parameter (er zijn dus oneindig veel kegelsneden die hieraan voldoen). De voorwaarden zijn
- A moet op K liggen
- B moet op K liggen
- dK/dx in A moet 0 zijn
- dK/dy in B moet 0 zijn
(d staat hier voor een partiële afgeleide). Ik vind (met k de vrije parameter):
\(9x^2 + 36kxy - 36xz + 4y^2 - 24yz + 36z^2 = 0\)3) Doe je dit op een "meetkundige manier" (je draait en je verschuift), of via matrixrekening (diagonalisering?)
3) matrixrekening, maar ik heb mijn hele berekening er niet gezet omdat ik bijna helemaal zeker ben dat het juist is.
bedankt, ik zal 1 nog eens bekijken op rekenfouten (ik dacht het eigenlijk dat er ergens een rekenfout moest zijn) en 2 zal ik ook nog eens bekijken.
Maar ik kan aan niet zoveel mensen uit mijn omgeving(buiten leerkrachten natuurlijk) uitleg vragen, want je ziet kegelsneden enkel in de 8 uur
achter die 4 en die -1 moet er zekers nog een z staan?(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
Het gaat vooral om de methode, als je die begrijpt zijn rekenfoutjes nog mogelijk, maar dat geldt ook op een test.3) matrixrekening, maar ik heb mijn hele berekening er niet gezet omdat ik bijna helemaal zeker ben dat het juist is.
Ik heb het niet nagerekend, maar als je echt wil kan ik het wel eens doen (lijkt me niet nodig).
Klopt, en in Nederland worden kegelsneden niet op deze manier (analytisch en even grondig) behandeld, in het secundair onderwijs.Maar ik kan aan niet zoveel mensen uit mijn omgeving(buiten leerkrachten natuurlijk) uitleg vragen, want je ziet kegelsneden enkel in de 8 uur
Welja, dat maakt niets uit: overgang homogeen -> cartesisch is z = 1.achter die 4 en die -1 moet er zekers nog een z staan?TD! schreef:(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 343
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
nee, niet echt nodig, ik snap het daarom denk ik dat uitgez. rekenfoutjes het antwoord klopt!Het gaat vooral om de methode, als je die begrijpt zijn rekenfoutjes nog mogelijk, maar dat geldt ook op een test.Mendelevium schreef:3) matrixrekening, maar ik heb mijn hele berekening er niet gezet omdat ik bijna helemaal zeker ben dat het juist is.
Ik heb het niet nagerekend, maar als je echt wil kan ik het wel eens doen (lijkt me niet nodig).
worden kegelsneden in nederland dan bijna niet behandeld in het secundair onderwijs? Hoe doen ze dat dan hogerop of zie je dat hogerop eigenlijk nog niet zoveel?Klopt, en in Nederland worden kegelsneden niet op deze manier (analytisch en even grondig) behandeld, in het secundair onderwijs.
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
Ze zien kegelsneden wel, maar (voor zover ik weet) niet meer in die algemene vorm (alleen de 'standaard'kegelsneden, x²/a² ± y²/b² = 1 en y² = 2px).
In verdere studies kom je dat nog nauwelijks tegen, (exact) wetenschappelijke richtingen krijgen voornamelijk analyse/calculus, lineaire algebra en statistiek, humane wetenschappen zo goed als enkel (toegepaste) statistiek.
In verdere studies kom je dat nog nauwelijks tegen, (exact) wetenschappelijke richtingen krijgen voornamelijk analyse/calculus, lineaire algebra en statistiek, humane wetenschappen zo goed als enkel (toegepaste) statistiek.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 2.746
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
wij hebben nu juist kegelsneden in hun algemene vorm gezien, met alles erop en eraan
(1e bach burg ir)
(1e bach burg ir)
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
Wellicht in Gent? Daar is een apart vak meetkunde (voor zover ik weet alleen daar voor ir's), tenzij je het bij algebra zag misschien...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 2.746
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
jep, in gent in het vak meetkunde, is er in brussel, leuven, .. dan geen meetkunde in het eerste jaar?
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
Er wordt wel wat meetkunde gezien (bijvoorbeeld bij "wiskundige technieken" of in het kader van "lineaire algebra"), maar er is geen apart vak voor.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 4.502
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
Tav.Topichouder Mendelevium ea geinteresseerden.
Ik tekende een kegelsnede,maar kon uit de snede geen ellipsvorm ontdekken; ik projecteerde elk punt van de kegelsnede op de desbetreffende horizontale doorsnede en verkreeg zo het model.
Waar kan ik de brandpunten van de wrs.(veronderstelde)ellips (twee stuks?) vinden?
Wat is de fout in mijn tekenmethode?
Ik tekende een kegelsnede,maar kon uit de snede geen ellipsvorm ontdekken; ik projecteerde elk punt van de kegelsnede op de desbetreffende horizontale doorsnede en verkreeg zo het model.
Waar kan ik de brandpunten van de wrs.(veronderstelde)ellips (twee stuks?) vinden?
Wat is de fout in mijn tekenmethode?
-
- Berichten: 343
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
Ik heb het gevonden, rekenfout gemaakt (kan gebeurenTD! schreef:1) Ik heb m'n cursus niet bij de hand, dus het verband tussen de asymptoten/ontaardingen en dubbelpunten herinner ik me niet meer. Je ontaarding is inderdaad fout, maar ik vermoed door rekenfouten. Het is natuurlijk altijd mogelijk direct uit te gaan van twee algemene rechten en dan een 6x6-stelsel op te lossen, maar het kan dus eleganter. In elk geval, je zou moeten vinden:
(2x - 3y + 4)(2x - 3y - 1) = 0
Moest je op voorhand eerst eenvoudig willen controleren of K ontaard is, dan kan met de determinant (die is dan 0).
)Heb het eens geprobeerd (die cijfers achter de a zijn gewoon cijfers om een andere a te kunnen defiëneren; ik kon evengoed 6 verschillende letters gebruiken):TD! schreef:2) Ik weet niet welke voorwaarden je allemaal hebt ingevuld, maar per raaklijn leg je twee voorwaarden op en een kegelsnede is uniek bepaald door 5 (onafhankelijke) voorwaarden. Als je alles invult en oplost, heb je dus nog één vrije parameter (er zijn dus oneindig veel kegelsneden die hieraan voldoen). De voorwaarden zijn
- A moet op K liggen
- B moet op K liggen
- dK/dx in A moet 0 zijn
- dK/dy in B moet 0 zijn
(d staat hier voor een partiële afgeleide). Ik vind (met k de vrije parameter):
\(9x^2 + 36kxy - 36xz + 4y^2 - 24yz + 36z^2 = 0\)
\(A11x^2+a12xy+a22y^2+a13xz+a23yz+z33z^2=0\)
A(2;0;1)\(4a11+2a13+a33=0\)
B(0;3;1)\(9a22+3a23+a33=0\)
dK/dx in A: \(2a11x+a12y+a13z=0 => 4a11+a13=0\)
dK/dy in B: \(a12x+2a22y+a23z=0 => 6a22+a33=0\)
\(a11 - ¼ a33 = 0\)
\(a22 + (1/6) a33 = 0\)
\(a13 + a33 = 0\)
\(a13 (1/6) a33 = 0 \)
maar wat moet ik nu doen? ben ik eigenlijk al juist tot nu toe?
-
- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Kegelsneden
Het ligt mss aan mij, maar ik vind die A11... nogal verwarrend, ik zie ook niet direct hoe je aan de laatste 4 vergelijkingen komt.
Even opnieuw: ax²+by²+cz²+dxy+exz+fyz = 0
A ligt op K: 4a + c + 2e = 0
B ligt op K: 9b + c + 3f = 0
dK/dx in A: 4a + e = 0
dK/dy in B: 6b + f = 0
Merk op dat de coëfficiënt d (die van xy) niet voorkomt.
Dit levert dus een stelsel van 4 vergelijkingen in 5 onbekenden.
Je weet (of kan nagaan) dat je nog één vrije parameter zal hebben. In feite had je die in het begin ook kunnen wegdelen in de algemene vergelijking, zodat we in het totaal 5 ipv 6 onbepaalde coëfficiënten hadden. Vermits de uiteindelijke vergelijking ook maar bepaald zal zijn op een constante factor na, kunnen we één onbekende kiezen. Je kan {a,b,c,e} oplossen in functie van f, of direct f al gelijkstellen aan, bijvoorbeeld, 1.
We krijgen zo een 4x4-stelsel:
a = - 3/8 , b = - 1/6 , c = - 3/2 , e = 3/2
Even opnieuw: ax²+by²+cz²+dxy+exz+fyz = 0
A ligt op K: 4a + c + 2e = 0
B ligt op K: 9b + c + 3f = 0
dK/dx in A: 4a + e = 0
dK/dy in B: 6b + f = 0
Merk op dat de coëfficiënt d (die van xy) niet voorkomt.
Dit levert dus een stelsel van 4 vergelijkingen in 5 onbekenden.
Je weet (of kan nagaan) dat je nog één vrije parameter zal hebben. In feite had je die in het begin ook kunnen wegdelen in de algemene vergelijking, zodat we in het totaal 5 ipv 6 onbepaalde coëfficiënten hadden. Vermits de uiteindelijke vergelijking ook maar bepaald zal zijn op een constante factor na, kunnen we één onbekende kiezen. Je kan {a,b,c,e} oplossen in functie van f, of direct f al gelijkstellen aan, bijvoorbeeld, 1.
We krijgen zo een 4x4-stelsel:
\(\left{ \begin{array}{l} 4a + c + 2e = 0 9b + c + 3 = 0 4a + e = 0 6b + 1 = 0 \end{array} \right.\)
Op te lossen met een methode naar keuze, ik vind:a = - 3/8 , b = - 1/6 , c = - 3/2 , e = 3/2
\( - \frac{3}{8}x^2 - \frac{1}{6}y^2 - \frac{3}{2}z^2 + dxy + \frac{3}{2}xz + yz = 0 \Leftrightarrow 9x^2 + 24y^2 + 36z^2 - 24dxy - 36xz - 24yz = 0\)
De coëfficiënt van xy lijkt verschillend (tov m'n vorige oplossing), maar dat kan je in die constante (toen k, nu d) steken."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
