Differentiaalvergelijking oplossen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.279

Differentiaalvergelijking oplossen

Ik wet niet veel van differntiaalvergelijkingen, ik kan ze een klein beetje oplossen, maar ik ben nu bezig met iets natuurkundigs en ik kan de volgende niet oplossen.
\(\frac{d^2x}{dt^2} = -ax + g\)
Dit is waarschijnlijk iets heel eenvoudig maar ik vind de oplossing niet.

Ik zoek dus x(t)

Berichten: 133

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

aaargh schreef:Ik wet niet veel van differntiaalvergelijkingen, ik kan ze een klein beetje oplossen, maar ik ben nu bezig met iets natuurkundigs en ik kan de volgende niet oplossen.
\(\frac{d^2x}{dt^2} = -ax + g\)
Dit is waarschijnlijk iets heel eenvoudig maar ik vind de oplossing niet.

Ik zoek dus x(t)
Is een differentiaalvergelijking die je ook tegenkomt bij de harmonische oscillator en de oplossing hiervan is een sinusfunctie : sin ([wortel]a

x), met nog een integratieconstante bij dan
Ce que j'écris n'est pas pour les petites filles, dont on coupe le pain en tartines.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

Algemene oplossing bevat twee constanten (hieronder: c en d), omdat de orde 2 is.
\(x\left( t \right) = \frac{g}{a} + c\cos \left( {\sqrt a t} \right) + d\sin \left( {\sqrt a t} \right) \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

Om even te testen, doe ik dit goed?
\(\frac{d^2x}{dt^2} = -ax + g\)
\(\lambda² + a = 0 \Rightarrow \left{ \begin{array}{l} \lambda = ia \lambda = -ia \end{array}\)
\(x(t) = A e^{-iat} + Be^{-iat}\)
En alleen het reële gedeelte:
\(x(t) = A\sin(at) + B\cos(at)\)
Hoe komt die g/a daar dan nog?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

Jij hebt enkel de homogene vergelijking opgelost, de extra constante vereist nog een particuliere oplossing.

De exponenten van jouw e-machten zijn gelijk? Eentje zal zonder min-teken zijn, vermoed ik en is het niet [wortel]a?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

Ach ja, nu zie ik het. Is er ook een techniek om de homogene en praticuliere oplossing in een keer te vinden?

En een van de e-machten moet inderdaad zonder min-teken, sorry.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

Bij dit type (lin dff vgl met constante coëfficiënten) is het gewoonlijk het eenvoudigst om homogeen en particulier te zoeken, som is de algemene oplossing.

Hier is dat trouwens erg eenvoudig, het niet-homogeen deel is een constante, stel dus een constante c voor. Invullen levert:

0 = ac - g <=> c = g/a
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

We hebben in de les alleen nog maar lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten gezien dus die techniek is ook de enige die ik ken om de particuliere oplossing te vinden :) . Maar als ik wat vooruitblader zie ik dat die constante in het rechterlid ook nog kan variëren maar dat is voor later. Bedankt voor de uitleg [rr] .

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Differentiaalvergelijking oplossen

Klopt, zie bijvoorbeeld hier voor informatie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer