Springen naar inhoud

[wiskunde] lineaire algebra: vectorruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 01 december 2006 - 17:00

Ik moet de volgende stelling bewijzen: in elke vectorruimte die geen basis heeft bestaat er voor elke LaTeX een lineair onafhankelijk stelsel LaTeX van lengte n.
Ik weet wel dat als een stelsel geen basis heeft, dat ie afhankelijk is en/of onvolledig is. Dus dat onafhankelijk stelsel moet onvolledig zijn, anders zou de vectorruimte een basis hebben. Maar verder kom ik niet.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Mattia

    Mattia


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 december 2006 - 18:30

Misschien een rare vraag, maar hoe kan een vectorruimte geen basis hebben, ik kan me zo maar een vectorruimte inbeelden en dat is de nulruimte...

#3

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 december 2006 - 18:52

Misschien een rare vraag, maar hoe kan een vectorruimte geen basis hebben, ik kan me zo maar een vectorruimte inbeelden en dat is de nulruimte...

De nulruimte heeft toch juist oneindig veel basissen, mits (0*iedere vector) de nulvector is. Niet?

#4

Mattia

    Mattia


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 december 2006 - 12:39

Misschien een rare vraag, maar hoe kan een vectorruimte geen basis hebben, ik kan me zo maar een vectorruimte inbeelden en dat is de nulruimte...

De nulruimte heeft toch juist oneindig veel basissen, mits (0*iedere vector) de nulvector is. Niet?

In de nulruimte zit enkel de nulvector en dat is er dus eentje, je zou kunnen zeggen dat die zichzelf voortbrengt, maar die is nooit lineair onafhankelijk. Dus dat is geen basis. Volgens bepaalde stellingen brengt de lege ruimte de nulruimte voort, maar dat is maar louchigheid om het zo te zeggen.
Wat jij zegt van elke vector vermenigvuldigen met nul, dat geeft de nulVECTOR en niet de nulruimte. Gezien die andere vectoren geen elementen zijn van de nulruimte kan dat dus niet...

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2006 - 15:03

Equivalent met het lemma van Zorn, geldt dat elke vectorruimte een basis heeft, dus ik vind de vraag ook vreemd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 02 december 2006 - 22:32

Ik heb het volgende geleerd:
Zij V een vectorruimte. Een stelsel {v_1,...,v_n} heet een basis van V als {v_1,...,v_n} een onafhankelijk ťn volledig stelsel voor V is.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2006 - 22:39

Dat klopt, maar ik vind het nog steeds vreemd dat je uitgaat van een vectorruimte die "geen basis heeft".

Ik probeer toch even de vraag te volgen; pak het bijvoorbeeld uit het ongerijmde aan.

Stel dat er toch een n bestaat waarvoor V = {v_1...n} lineair afhankelijk is, dan is span(V) de vectorruimte. Bovendien kan je dan minstens ťťn van de vectoren schrijven als een lineaire combinatie van de overigen, het schrappen van deze verandert niets aan het feit dat de vectorruimte wordt voortgebracht door V. Herhaling hiervan totdat het stel lineair onafhankelijk is levert een basis, maar die bestaat per veronderstelling niet. Contradictie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 06 december 2006 - 17:27

Ik begrijp het niet helemaal. Wat betekent span(V)? En is met bovenstaande nu de stelling bewezen?

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 december 2006 - 17:28

Men span(V) of vect(V) bedoelen we de ruimte voortgebracht door het stel vectoren uit V.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 06 december 2006 - 19:33

Dus de conclusie is dan dat die vectorruimte zonder basis geen lineair onafhankelijk stelsel heeft?

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 december 2006 - 19:35

Nee, er was net aan te tonen dat voor eender welke n (natuurlijk getal), er een lineair onafhankelijk stel van n vectoren kan gevonden worden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 06 december 2006 - 20:04

"Herhaling hiervan totdat het stel lineair onafhankelijk is levert een basis, maar die bestaat per veronderstelling niet. Contradictie."

#13

Mattia

    Mattia


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 december 2006 - 22:17

Nee, er was net aan te tonen dat voor eender welke n (natuurlijk getal), er een lineair onafhankelijk stel van n vectoren kan gevonden worden.

Alks je een n-dimensionale vectorruimte hebt bedoel je dan?

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 december 2006 - 22:32

"Herhaling hiervan totdat het stel lineair onafhankelijk is levert een basis, maar die bestaat per veronderstelling niet. Contradictie."

Wat begrijp je daar niet aan?

Alks je een n-dimensionale vectorruimte hebt bedoel je dan?

De dimensie van V is in de opgave niet gespecifieerd (al lijkt men oneindig te impliceren), maar moet wel minstens n zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 07 december 2006 - 13:26

eerst zeg je dat er een lineair onafhankelijk stelsel is met een basis, maar dat die niet kan bestaan. en dan zeg je dat je hebt aangetoond dat er een lineair onafhankelijk stelsel bestaat in die vectorruimte.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures