Springen naar inhoud

Een paar (simpele) bewijzen ivm stelsels


  • Log in om te kunnen reageren

#1

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 december 2006 - 19:50

Hoi,

we hebben vrijdag nog net de inleiding gezien tot het volgende hoofdstuk: "Lineaire algebra", waarin we bezig zijn met stelsels. Nu heeft de prof ons een paar proposities opgegeven, die we zelf moeten bewijzen. Zouden jullie eens willen kijken of ze kloppen?

Propositie 1:
Veronderstel dat X1 en X2 oplossing zijn van een homogeen stelsel en dat :)1, :) :):). Dan is ;)1X1 + ;)2X2 ook een oplossing van dat stelsel, maw lineaire combinaties van oplossingen zijn opnieuw een oplossing.


bewijs:
Het gaat over een homogeen stelsel, dus: AX=0

We weten dat X1 en X2 oplossingen van het selsel zijn, dus: X1=0 en X2=0.
Dan is :?:1X1+;)2X2 ook een oplossing, want:
A(;)1X1+:) 2X2)=AX1:?: 1+AX2:)2=0+0=0
______________________________________________________

Gevolg propositie 1:
Het aantal oplossingen van een homogeen stelse is ofwel één ofwel oneindig


bewijs:
Het gaat over een homogeen stelsel, dus: AX=0
  • Indien er één oplossing is: X1=0
  • Indien er meerdere oplossingen zijn:
    Stel A=0, dan geldt voor alle X dat AX=0
______________________________________________________

Propositie 3:
Veronderstel dat X1 en X2 oplossingen zijn van een niet-homogeen stelsel AX=B. Dan is X1-X2 een oplossing van het geassocieerde homogene stelsel AX=0


bewijs:
We weten dat AX1=B en dat AX2=B. Nu kunnen we zeggen dat X1-X2 een oplossing is van het geassocieerde homogene stelsel, want:

A(X1-X2)=AX1-AX2=B-B=0
_______________________________________________________

Gevolg 1 propositie 3:
Als Xp één particuliere oplossing van een niet-homogeen stelsel AX=B is, dan is elke andere oplossing van dat stelsel van de vorm X=Xh+Xp, waarbij Xh een oplossing is van het geassocieerde homogene stelsel AX=0


bewijs:
We weten dat AXp=B.
We weten ook dat AXh=0. Dan kunnen we zeggen dat Xh+Xp=B, want:
A(Xh+Xp)=AXh+AXp=0+B=B
________________________________________________________

Gevolg 1 propositie 3:
Het aantal oplossingen van een niet-homogeen stelsel is ofwel 0, ofwel één, ofwel oneindig.


Bewijs:

Dit bewijs vind ik niet, het zal waarschijnlijk wel even makkelijk zijn als de bovenstaande, maar toch vind ik het niet... Een duwtje in de rug zou moeten volstaan :D



Bedankt voor de tijd!
Groeten,
Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2006 - 20:00

1) Je bedoelt A(x1) = A(x2) = 0, niet x1 = x2 = 0.

2) Wat bedoel je met "Stel A=0"? A ligt vast... Een homogeen stelsel heeft altijd de nuloplossing, dit kan de enige zijn (één oplossing) of niet. Indien niet, dan is er een niet-nulle oplossing x die volgens de vorige stelling aanleiding geeft tot oneindig veel oplossingen (veelvouden zijn ook oplossingen).

3) Ziet er goed uit.

4) Je toont hier niet aan dat Xh+Xp=B, maar dat A(Xh+Xp) = B, maw Xh+Xp is een oplossing.

5) Kijk eens terug naar het geval homogeen, ivm aantal oplossingen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 december 2006 - 20:12

1) Je bedoelt A(x1) = A(x2) = 0, niet x1 = x2 = 0.


Dat bedoelde ik inderdaad.

2) Wat bedoel je met "Stel A=0"? A ligt vast... Een homogeen stelsel heeft altijd de nuloplossing, dit kan de enige zijn (één oplossing) of niet. Indien niet, dan is er een niet-nulle oplossing x die volgens de vorige stelling aanleiding geeft tot oneindig veel oplossingen (veelvouden zijn ook oplossingen).


Zo dan:
We weten dat AX=0, dan zijn ook alle veelvouden van die oplossing nulpunten, want:

A(:) X)=:)(AX):?:) 0=0

4) Je toont hier niet aan dat Xh+Xp=B, maar dat A(Xh+Xp) = B, maw Xh+Xp is een oplossing.


Ook hier een typfoutje, dat moest inderdaad A(Xh+Xp) = B zijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2006 - 20:27

Zo dan:
We weten dat AX=0, dan zijn ook alle veelvouden van die oplossing nulpunten, want:

A(:) X)=:)(AX):?:) 0=0

Klopt, maar dat volgde dus al uit 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 december 2006 - 20:45

Zo dan:
We weten dat AX=0, dan zijn ook alle veelvouden van die oplossing nulpunten, want:

A(:) X)=;)(AX)=;) 0=0

Klopt, maar dat volgde dus al uit 1.


Er staat ook boven het bewijs: "Gevolg propositie 1" :D

Nog even over die laatste:

Dat er geen oplossing kan zijn is evident, dan is het stelsel strijdig. Dat er net één oplossing kan zijn, is ook evident. Maar van het moment dat je er meer dan 1 hebt, dat je er dan oneindig hebt, is niet zo evident. Hoe kan je dat dan bewijzen?
Een samenstelling maken uit X1 en X2 ofzo?

Je zei: kijk naar het geval homogeen.

Dan zou je eventueel dit kunnen doen:

:)1X1+;)2X2 , maar dat gaat niet op voor niet-homogene stelsels, want:

A(:)1X1 + :)2X2) =Agreek028.gif1X1 + Agreek028.gif2X2= :?:1B + :)2B = B(:)1+;)2) :) B tenzij :)1 + :?:2 = 1
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2006 - 21:00

Je hebt aangetoond dat oplossing steeds van de vorm yh + yp zijn, met yp een particuliere oplossing.
Gesteld dat je zo één particuliere oplossing hebt en dat yh niet enkel de nuloplossing is, dan zijn er toch oneindig veel yh?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 december 2006 - 21:17

Je hebt aangetoond dat oplossing steeds van de vorm yh + yp zijn, met yp een particuliere oplossing.
Gesteld dat je zo één particuliere oplossing hebt en dat yh niet enkel de nuloplossing is, dan zijn er toch oneindig veel yh?


Ja oké, maar daar is het nog niet mee bewezen. En het is net aan het bewijs dat ik niet kan beginnen.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2006 - 22:26

Wat is het probleem? Je hebt maar één yp nodig, samen met oneindig veel y_h's levert dat ook oneindig veel yh+yp's...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Mattia

    Mattia


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 december 2006 - 23:10

Bedoelt men met die A die hier de hele tijd rondzwerft een lineaire afbeelding?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2006 - 23:19

Een matrix, maar vermits je een lineaire afbeelding kunt voorstellen door een matrix... :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 02 december 2006 - 23:21

Bedoelt men met die A die hier de hele tijd rondzwerft een lineaire afbeelding?

Eigenlijk een matrix. Maar als je dat wilt mag je voor A ook een lineaire afbeelding denken.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures