Springen naar inhoud

limieten van (functies van) meerdere variabelen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 december 2006 - 02:25

Hoe pak ik een limiet van een functie van meerdere variabelen aan? Mijn boek geeft wel de definitie van zo'n limiet (met behulp van open sets en open disks) maar geeft geen enkel voorbeeld, behalve de meest voor de hand liggende waar je de variabelen gewoon kunt invullen.

Voorbeeld:
LaTeX
LaTeX
deze schijnt 0 te zijn, terwijl
LaTeX
1 oplevert?
Hieruit concludeer ik dat je niet de substitutie-stelling mag gebruiken?

Ik heb echt geen flauw idee waar te beginnen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 04 december 2006 - 10:11

Je eerste voorbeeld: Teller helemaal uitwerken.
Vorrbeeld 2 gaat analoog aan voorbeeld 3:
Zij epsilon.gif > 0.
We tonen aan dat
er een delta.gif > 0 bestaat, zo dat als ||(x,y,z) - (0,0,0)|| < delta.gif dan is |sin(xyz)/xyz - 1| < epsilon.gif.

Als ||(x,y,z) - (0,0,0)|| < delta.gif, dan is |x| < delta.gif en |y| < delta.gif en |z| < delta.gif.
Dan is |xyz| < delta.gif3.
Omdat LaTeX
is er voor gegeven epsilon.gif > 0 een delta.gif > 0 zo dat als |x| < delta.gif3 dan is |sin(x)/x - 1| < epsilon.gif.
Substitueer nu voor x, xyz en voilà.

#3

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 04 december 2006 - 11:37

Ik ben geen wiskundige. Maar zou voor de tweede ook volgende redenering juist zijn: Ik geef y bepaalde waarde en x naar 0 dan volgens gekende stelling limiet is 1. Ik geef x bepaalde waarde en y naar 0 terug 1 dus...
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 december 2006 - 11:44

Hoe pak ik een limiet van een functie van meerdere variabelen aan? Mijn boek geeft wel de definitie van zo'n limiet (met behulp van open sets en open disks) maar geeft geen enkel voorbeeld, behalve de meest voor de hand liggende waar je de variabelen gewoon kunt invullen.

Wannneer je niet gewoon kunt invullen, zijn limieten in meerdere variabelen wat subtieler dan de gewone enkelvoudige limieten.
De limiet bestaat slechts als je dezelfde waarde bekomt, onafhankelijk van het pad dat je volgt.
Dit kan je gebruiken om het niet bestaan aan te tonen (zoek verschillende wegen die tot een verschillend resultaat leiden).
Als je de indruk hebt dat de limiet wel bestaat (omdat je steeds hetzelfde uitkomt), kan je proberen af te schatten, insluitstelling, ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2006 - 17:13

Je eerste voorbeeld: Teller helemaal uitwerken.

LaTeX

Vorrbeeld 2 gaat analoog aan voorbeeld 3:
Zij epsilon.gif > 0. We tonen aan dat er een delta.gif > 0 bestaat, zo dat (...)

Dank voor de uitwerking, echter hebben wij nog geen epsilon-delta definitie van limieten gehad. Wel met behulp van neighborhoods, open sets en open disks. Ik weet dat dit uiteindelijk op hetzelfde neerkomt, maar toch begrijp ik dit niet. Bovendien zouden wij deze limieten met ons bekende stof moeten kunnen oplossen.
Is er een andere manier?

Wannneer je niet gewoon kunt invullen, zijn limieten in meerdere variabelen wat subtieler dan de gewone enkelvoudige limieten.
De limiet bestaat slechts als je dezelfde waarde bekomt, onafhankelijk van het pad dat je volgt.
Dit kan je gebruiken om het niet bestaan aan te tonen (zoek verschillende wegen die tot een verschillend resultaat leiden).
Als je de indruk hebt dat de limiet wel bestaat (omdat je steeds hetzelfde uitkomt), kan je proberen af te schatten, insluitstelling, ...

Okee, maar hoe bekijk je limieten vanuit verschillende paden :) Zou je één van mijn voorbeelden op deze manier kunnen uitleggen :)

Ik weet nu dat ze bestaan (PeterPan): echter wat is afschatten?
Ik wist bijvoorbeeld al dat
LaTeX
maar ik zie het verschil niet tussen mijn 2e en 3e voorbeeld. Waarom mag je bij de een wel substitueren en bij de ander niet?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2006 - 17:56

Voorbeeld, limiet van f(xny) voor (x,y) gaande naar (0,0) met:

LaTeX

Je kunt als pad de x-as nemen (dus stel y = 0 en neem de limiet voor x naar 0), dat levert 1.
Je kunt als pad de y-as nemen (dus stel x = 0 en neem de limiet voor y naar 0), dat levert -1.
Deze zijn niet gelijk, de waarde hangt af van de gekozen weg, dus de limiet bestaat niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2006 - 01:48

Aha, dus alle variabelen op één na wegdenken, en dan de gewone limiet (op de manier van één-variabelen-calculus) uitrekenen, en dat voor alle variabelen. Uiteraard kun je stoppen als je twee verschillende waarden vindt.

Heb je misschien nog een algemene tip hoe je kunt 'aanvoelen' dat zo'n limiet niet bestaat?
Want anders kan het best veel werk zijn. :)

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2006 - 08:05

Er zijn meerdere manieren om een pad te kiezen, dit was de eenvoudigste.
Je kan ook y = mx substitueren, dan ga je volgens een rechte, parabool kan ook...

Het 'aanvoelen' komt vooral door ervaring, veel doen, ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2006 - 10:29

Heb je misschien nog een algemene tip hoe je kunt 'aanvoelen' dat zo'n limiet niet bestaat?  


Mij vertelde iemand dat je moet kijken naar speciale zaken in de limiet.

Neem nu LaTeX
Dan zou je kunnen opmerken dat in de teller een min teken zit en in de noemer niet. En dan proberen dit feit "uit te buiten" zoals TD! al deed in zijn vorige post.

Vind ik ergens die stellingen gebaseerd op sets en open disks?

Groeten.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2006 - 11:48

Daar moet je inderdaad naar op zoek, naar het 'zien' van zo'n dingen is net wat een beetje inzicht (uit bvb ervaring) vraagt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2006 - 12:19

Hmm, ik heb er net even naar die limiet hierboven gekeken:

LaTeX

Ik dacht hem op te lossen aan de hand van de insluitingsstelling, maar dat lukt me niet meteen. Kan iemand helpen? Ik weet zeker dat het daarmee moet lukken, maar het lukt me om de één of andere reden niet.

Bedankt
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#12

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2006 - 12:25

Denk even aan LaTeX
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#13

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2006 - 12:33

Denk even aan LaTeX


Ai ai, taylor. [rr]
Mijn kennis daarover is sterk beperkt :)
Het enige wat ik daarmee zou kunnen doen is het berekenen van de convergentiestraal, en ik weet niet wat je daar precies mee zou bereiken.

Zoiets misschien?
Neem R de convergentie straal:
LaTeX

Groeten
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#14

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 08 december 2006 - 12:35

Rogier suggereert x-x3/6 < sin(x) < x als x>0
Voor x< 0 is sin(x)/x = sin(-x)/(-x)

#15

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2006 - 12:37

Rogier suggereert x-x3/6 < sin(x) < x als x>0
Voor x< 0 is sin(x)/x = sin(-x)/(-x)


Helaas kom ik met die suggestie niet verder.. [rr]
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures