Springen naar inhoud

Afleidbaarheid van een functie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2006 - 17:42

Gegeven is de volgende functie:

LaTeX

Ik weet dat ze afleidbaar is volgens de richtingen van de eerste veranderlijke en de richting van de tweede veranderlijke (dus D1 en D2).

Maar hoe controleer je dat voor alle andere richtingen? Met behulp van de richtingsafgeleide waarschijnlijk, maar hoe gaat dat dan in zijn werk?


Alvast bedankt!
Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 december 2006 - 20:44

Is f volgens jou continu in (0,0)? Indien nee, wat besluit je dan over afleidbaarheid?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 december 2006 - 21:14

Ik weet hier niet genoeg van , maar in mijn wiskundeboek staat het volgende:

Als f(x) en f(y) bestaan in P element van G, dan behoeft f niet noodzakelijk continu in P te zijn. ( f(x) en f(y) zijn de partiele afgeleiden naar x en naar y).

Voor het bewijs van deze bewering geven wij het volgende "tegenvoorbeeld"
Stel dat f een functie is, gedefinieerd als:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Nu is:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Evenzo bewijst men
LaTeX
In (0,0) bestaan dus
LaTeX
Nadert men langs de lijn met vergelijking y=m.x tot 0, dan geldt:
LaTeX
Onder het eerste woord Lim moet nog staan: punt (x,y) nadert tot (0,0)
LaTeX
LaTeX
Daar deze uitdrukking afhankelijk is van m, bestaat dus Lim f(x,y) voor (x,y) nadert tot (0,0) niet, en is f(x,y) zeker niet continu in (0,0).

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 december 2006 - 21:19

De limiet mag inderdaad niet afhangen van een parameter, vermits ze hetzelfde moet zijn onafhankelijk van het gevolgde pad.

PS: klik voor de LaTeX code om te zien hoe je zo'n limiet kan weergeven:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2006 - 23:18

Is f volgens jou continu in (0,0)? Indien nee, wat besluit je dan over afleidbaarheid?


Ze is niet afleidbaar, omdat ze niet contine is in (0,0), maar wel partieel afleidbaar. Nu is de vraag; in welke richtingen is deze functie partieel afleidbaar.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 december 2006 - 23:25

Is dat de opgave, nagaan in welke richtingen deze functie (partieel) afleidbaar is?

Zie aadkr, zoals je kan zien hangt de limiet af van de richtingscoŽfficiŽnt indien je y volgt volgens mx.

Voor m = 0 (de x-as) vervalt de afhankelijkheid van m en krijg je 0 (vandaar partieel afleidbaar volgens x-richting).
Voor m naar oneindig (de y-as) domineert de noemer en gaat het geheel ook naar 0 (vandaar partieel afleidbaar volgens y-richting).

Zal die limiet (van de breuk m/(1+m≤)) voor andere waarden van m nog naar 0 gaan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 december 2006 - 19:19

Is dat de opgave, nagaan in welke richtingen deze functie (partieel) afleidbaar is?

Zie aadkr, zoals je kan zien hangt de limiet af van de richtingscoŽfficiŽnt indien je y volgt volgens mx.

Voor m = 0 (de x-as) vervalt de afhankelijkheid van m en krijg je 0 (vandaar partieel afleidbaar volgens x-richting).
Voor m naar oneindig (de y-as) domineert de noemer en gaat het geheel ook naar 0 (vandaar partieel afleidbaar volgens y-richting).

Zal die limiet (van de breuk m/(1+m≤)) voor andere waarden van m nog naar 0 gaan?


Ik denk van niet.
Correct?

Maar, dan nog twee vraagjes:
- in die vergelijking met m, daar is de limiet toch niet meer afhankelijk van x en y? Moet dat helemaal niet?
- Waarom moet die limiet (met m) naar 0 gaan?

Groeten
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 december 2006 - 19:56

Ik denk van niet.
Correct?

Klopt.

- in die vergelijking met m, daar is de limiet toch niet meer afhankelijk van x en y? Moet dat helemaal niet?
- Waarom moet die limiet (met m) naar 0 gaan?

Een limiet in twee (algemeen: meerdere) veranderlijken bestaat enkel indien de bekomen waarden onafhankelijk is van het gevolgde pad. Mogelijke paden om naar (0,0) te gaan zijn de rechten door de oorsprong, van de vorm y = mx. Indien de waarde afhankelijk is van m (dus van het gevolgde pad), dan bestaat de limiet dus niet.

In dit geval moet de limiet naar 0 gaan omdat de functiewaarde in (0,0) gelijk is aan 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 december 2006 - 20:02

Conclusie: f is enkel partieel afleidbaar volgens de x en de y richting?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 december 2006 - 20:04

Lijkt me okť.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2006 - 12:23

Ik heb het even gevraagd aan mijn professor, en het moest als volgt opgelost worden:

We weten dat: LaTeX met LaTeX

Vertaald naar de opgave geeft dit:
LaTeX

We weten ook dat:
LaTeX

Hieruit zou je dan de oplossing moeten afleiden, maar ik zie niet hoe ik daarin de oplossing moet zien...

De oplossingen zijn: De functie f is afleidbaar in het punt (0,0) volgens de richtingen: (0,1) (0,-1) (1,0) en (-1,0)


Groeten,
Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 december 2006 - 15:49

Een richting(svector) is toch maar bepaald tot op een constante na?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 december 2006 - 16:32

Ik snap je vraag niet.
De hint van de professor ging tot hier:
LaTeX

Vanaf daar heb ik het zelf uitgewerkt, dus misschien zit er een fout in de uitwerking
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 december 2006 - 16:33

Ik doelde op de richtingen "(0,1) (0,-1) (1,0) en (-1,0)".
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 december 2006 - 16:38

De oplossingen kloppen toch wel hoor, denk ik.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures