Ik weet hier niet genoeg van , maar in mijn wiskundeboek staat het volgende:
Als f(x) en f(y) bestaan in P element van G, dan behoeft f niet noodzakelijk continu in P te zijn. ( f(x) en f(y) zijn de partiele afgeleiden naar x en naar y).
Voor het bewijs van deze bewering geven wij het volgende "tegenvoorbeeld"
Stel dat f een functie is, gedefinieerd als:
\( f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)
\((x,y)\neq(0,0)\)
\(f(0,0)=0\)
Nu is:
\(f_{x}(0,0)=Lim\frac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} voor h\rightarrow0\)
\(=Lim\frac{0-0}{h} voor h\rightarrow0\)
\(=Lim 0=0 voor h\rightarrow0\)
Evenzo bewijst men
\(f_{y}(0,0)=0\)
In (0,0) bestaan dus
\(f_{x} en f_{y}\)
Nadert men langs de lijn met vergelijking y=m.x tot 0, dan geldt:
\(Limf(x,y)=Lim\frac{mx^2}{x^2(1+m^2)} voor x\rightarrow0\)
Onder het eerste woord Lim moet nog staan: punt (x,y) nadert tot (0,0)
\(=Lim\frac{m}{1+m^2} voor x\rightarrow0\)
\(=\frac{m}{1+m^2}\)
Daar deze uitdrukking afhankelijk is van m, bestaat dus Lim f(x,y) voor (x,y) nadert tot (0,0) niet, en is f(x,y) zeker niet continu in (0,0).
