Springen naar inhoud

Bewijs ivm inproductruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2006 - 17:42

V is een vectorruimte die alle functies die continu zijn op [a,b] omvat. Stel f en g twee functies :?: V.
Hoe bewijs ik dat
LaTeX

De prof zei dat ik een stelling uit de analyse nodig had, maar welke [rr].

(om eventuele notatieverwarringen te voorkomen <f,g> betekent het inproduct van f en g.)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2006 - 17:49

Volgens mij zijn er heleboel inproducten te definieren op deze ruimte. De vraag zou dus volgens mij moeten zijn: Bewijs dat LaTeX
een inproduct definieert.

En dat is gewoon simpelweg alle axioma's voor een inproduct controleren. Heb je geen stelling voor nodig. [rr]
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2006 - 17:52

Het is niet zo moeilijk, opdat deze integraal een inproduct zou definiëren hebben we nodig:

- symmetrie: vermits de vermenigvuldiging commutatief is, zal de integraal van fg gelijk zijn aan die van gf.
- bilineariteit: de integraal is lineair, dus f (of g) vervangen door een lineaire combinatie is geen probleem
- positief definitiet: het inproduct van f met zichzelf levert de integraal van f˛ en een kwadraat is nooit negatief.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2006 - 18:10

- symmetrie: vermits de vermenigvuldiging commutatief is, zal de integraal van fg gelijk zijn aan die van gf.
- bilineariteit: de integraal is lineair, dus f (of g) vervangen door een lineaire combinatie is geen probleem

Ik volg...

- positief definitiet: het inproduct van f met zichzelf levert de integraal van f˛ en een kwadraat is nooit negatief.

Dat LaTeX , LaTeX snap ik, maar voor LaTeX slechts als x=0 zou dat betekenen.
LaTeX
Dan zou f een soort "nulelement voor functies" moeten zijn [rr] Hoe controleer ik dat axioma?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2006 - 18:12

De laatste voorwaarde stelt dat <f,f> > 0 moet zijn, tenzij f de nulfunctie is, f(x) = 0 voor alle x.
Indien f = 0, dan is natuurlijk ook f˛ = 0 en dan is de integraal van f˛ over een interval 0.

Iets subtieler om netjes te doen, maar intuītief eenvoudig: als f niet de nulfunctie is, dan is er ergens een f˛ > 0 en dus is de oppervlakte onder f˛ ook groter dan 0. Continuiteit impliceert dat het niet gewoon losse punten groter dan 0 zijn, dan zou de integraal nog 0 kunnen zijn, je hebt dus een a zodat f(a)˛ > 0 en uit continuiteit volgt dat er zelfs een omgeving van a is waarop f˛ > 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Pongping

    Pongping


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2006 - 18:46

De Veys vraagt ook altijd van die moeilijke dingen...

#7

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2006 - 19:15

Ok, bedankt voor de hulp.

De Veys vraagt ook altijd van die moeilijke dingen...

Deze viel nog mee, maar veel van zijn "triviale" vragen zijn iets moeilijker dan hij doet blijken :).

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 december 2006 - 12:42

Echt 'moeilijk' kan je dit toch niet noemen, zoiets als examenvraag voor lineaire algebra zou een cadeautje zijn :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Mattia

    Mattia


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 december 2006 - 13:28

Ik blijf het wel bizar vinden dat Veys nochtans duidelijk zei dat we een stelling uit de analyse nodig hadden...
Het had in elk geval iets te maken met die continuīteit. (ik ben volop aan het programmeren, dus leanaire en IHW studeren zal voor de volgende weken zijn)

#10

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 december 2006 - 15:48

Ik blijf het wel bizar vinden dat Veys nochtans duidelijk zei dat we een stelling uit de analyse nodig hadden...
Het had in elk geval iets te maken met die continuīteit.

Minder koekjes eten volgende les :).

(ik ben volop aan het programmeren, dus leanaire en IHW studeren zal voor de volgende weken zijn)

Ooh wat haat ik Olivié en zijn rotprogrammeren :).

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 december 2006 - 17:05

Ik blijf het wel bizar vinden dat Veys nochtans duidelijk zei dat we een stelling uit de analyse nodig hadden...
Het had in elk geval iets te maken met die continuīteit. (ik ben volop aan het programmeren, dus leanaire en IHW studeren zal voor de volgende weken zijn)

Dat zou goed kunnen, zoals ik al zei heb je namelijk voor die laatste eigenschap continuīteit nodig om het netjes aan te tonen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Mattia

    Mattia


  • >25 berichten
  • 39 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 december 2006 - 17:51

Ik blijf het wel bizar vinden dat Veys nochtans duidelijk zei dat we een stelling uit de analyse nodig hadden...
Het had in elk geval iets te maken met die continuīteit.

Minder koekjes eten volgende les :).

(ik ben volop aan het programmeren, dus leanaire en IHW studeren zal voor de volgende weken zijn)

Ooh wat haat ik Olivié en zijn rotprogrammeren :).

Het is toch juist wat ik zeg, niet?

#13

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 december 2006 - 18:01

Ja, zie TD!'s 2e post in dit topic.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 december 2006 - 18:08

Misschien nog even duiden: als f niet de nulfunctie is op het interval [a,b], dan is er een p in [a,b] zodat f(p) verschillend is van 0.
Door de continuīteit van f, geldt dan dat f verschillend is van 0 op een omgeving van p, dus voor x in (p-e,p+e) voor een zekere e >0.

Je kan de integraal dan opsplitsen:

LaTeX

Nu is de middelste integraal groter dan 0, de andere twee zijn minimaal 0 dus het totaal is groter dan 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures