Springen naar inhoud

Lineaire Algebra: allerlei


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2006 - 00:54

Hallo,

Ik heb een tweetal opdrachten waar ik een heel eind mee kom, echter wil ik (1) jullie hulp over het correct wiskundig opschrijven van de bewijzen en (2) hulp bij dingen waar ik niet uitkom :)

Zij LaTeX een positief geheel getal. Zij LaTeX de lineaire ruimte van alle polynomen met graad LaTeX met coŽfficiŽnten in LaTeX .

(a) Laat zien dat LaTeX een basis is van LaTeX .

Uit LaTeX volgt louter dat LaTeX . Dus LaTeX is lineair onafhankelijk. (1)

Verder geldt LaTeX (want alle LaTeX zijn
polynomen met een graad van maximaal LaTeX , dit is de algemene vorm
van zo'n polynoom). Dus iedere vector uit LaTeX is een lineaire
combinatie van LaTeX . (2)

Uit (1) en (2) volgt dat B een basis is voor LaTeX .

(b) Definieer de lineaire afbeelding LaTeX
door: voor LaTeX is LaTeX de afgeleide van LaTeX . Geef de
matrix A van D t.o.v. de basis LaTeX .

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX
...

LaTeX

Dus LaTeX

© Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van D m.b.v. de matrix A.

De eigenwaarden berekenen we m.b.v. de 'characteristic polynomial':
LaTeX
enz. oplossen voor LaTeX .

MJN VRAGEN:

zijn a) en b) goed en zo ja volledig correct wiskundig genoteerd?
Hoe doe ik c)?

PS: mijn tweede opgave hoop ik al beter te snappen als ik deze (en dan vooral c)) begrijp.

alvast bedankt :wink:

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2006 - 03:29

Zij LaTeX de lineaire ruimte van alle polynomen van graad LaTeX met coŽfficiŽnten in LaTeX .
Neem de operator van Hermite: LaTeX
(a) Laat zien dat als LaTeX in LaTeX zit, dan is ook LaTeX
(b) Geef de matrix A van LaTeX t.o.v. de basis LaTeX van LaTeX .
© Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van de lineaire operator
LaTeX op de lineaire ruimte LaTeX m.b.v. de matrix A.

(a)
De algemene vorm van alle vectoren uit LaTeX :
LaTeX (polynoom met graad maximaal 3, dus als bijvoorbeeld graad = 2 dan is LaTeX ).
Eerste afgeleide: LaTeX

Tweede afgeleide: LaTeX .
LaTeX .
LaTeX
(b)
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Dus de matrix A is opgebouwd uit deze kolomvectoren:
LaTeX
hmm..ik zie dat ik ze verkeerd heb ingevoerd.
Dit is dus LaTeX :)

© Eigenwaarden berekenen:
LaTeX
LaTeX
Maar eigenwaarde kan geen nul zijn toch?

Eigenvectors:
LaTeX row-reducen tot
LaTeX
Dus LaTeX is een eigenvector van A voor elke scalar LaTeX .

VRAGEN:
kan inderdaad een eigenwaarde niet nul zijn (logischerwijs niet, als ik kijk naar de betekenis van een eigenwaarde)?
Klopt dit alles?
Ik heb overigens de erg ingewikkelde berekeningen, zoals de determinant in c) en het row-reducen in c) met Mathematica gedaan. Is er een simpelere oplossing (behalve alles met de hand waardoor je uren bezig bent)?

alweer bedankt voor de (vele) moeite om het na te kijken!

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 11 december 2006 - 09:29

Opgave 1a is goed opgelost.
Opgave 1b. Hier snap ik niets van. 1 = [1,1/x,....1/x^N]?
Een getal is blijkbaar gelijk aan een vector???
Volgens mij moet
LaTeX en LaTeX en LaTeX
waarbij b.v. LaTeX en LaTeX

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2006 - 12:35

Dat was inderdaad vreemd genoteerd.
Ik bedoelde het volgende:

LaTeX dus LaTeX
LaTeX dus LaTeX
enz.
Dus de lineaire afbeelding D van x ten opzichte van de basis B is een vector. Simpelweg de lineaire afbeelding van x is een getal.
Zo wordt het in mijn boek ook gedaan:

Let V be the subspace LaTeX of the vector space D of all differentiable functions mapping LaTeX into LaTeX . Differtiation gives a linear transformation T of V into itself. Find the matrix representation A of T relative to B,B' where B=B'=LaTeX .

Ze beginnen dan met:
We find that LaTeX so LaTeX .

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 11 december 2006 - 13:06

Neem N=2, is dan niet

LaTeX

Vermenigvuldig deze matrix maar met a+bx+cx2 oftewel in vectorvorm (a,b,c)T,
dan is het resultaat (b,2c,0)T oftewel b+2cx.

Ik weet niet wat 1/x betekent in de polynoomring!

#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2006 - 13:24

Ik denk dat je gelijk hebt.
Als ik zo verder redeneer, kom ik uit op

LaTeX
Mee eens?

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 11 december 2006 - 13:39

Ja.

#8

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2006 - 14:03

Yes :)

LaTeX
Komt hier LaTeX uit?
want als ik bijvoorbeeld
LaTeX
uitreken met Mathematica, komt er LaTeX uit.
Dan zijn er geen eigenwaarden en - vectoren?

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 11 december 2006 - 14:07

De determinant is LaTeX . Daar heb je geen mathematica voor nodig. (Dat heb ik helaas niet eens).
Dus is er 1 eigenwaarde 0 met multipliciteit n en bijbehorende eigenvector (1,0,0,...,0)T.

#10

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2006 - 14:30

De determinant is LaTeX

. Daar heb je geen mathematica voor nodig. (Dat heb ik helaas niet eens).
Dus is er 1 eigenwaarde 0 met multipliciteit n en bijbehorende eigenvector (1,0,0,...,0)T.

Bedankt (ben niet bekend met de term multipliciteit, maar ik denk het te begrijpen)
De vector (1,0,0,...,0)T heeft dus n+1 'termen' (beschouwende als een lijst, weet te goede term even niet).

Zou je ook nog even naar mijn tweede opgave kunnen/willen kijken?

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 11 december 2006 - 15:21

De determinant bij 1 is LaTeX .
2 a.) klopt.
2 b.) Uit 2a volgt:
LaTeX .
Als A weer de bijbehorende matrix is, dan moet dus gelden

LaTeX

De kolommen van matrix A zijn A (1,0,0,0)T. A (0,1,0,0)T. A (0,0,1,0)T. A (0,0,0,1)T.

#12

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2006 - 15:56

LaTeX dus LaTeX
LaTeX dus LaTeX
LaTeX dus LaTeX
LaTeX dus LaTeX

Dus
LaTeX

LaTeX
Eigenwaarden: LaTeX
Eigenvectoren:
LaTeX row-reducen tot
LaTeX
oftewel
LaTeX oftewel
LaTeX

enz.

#13

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 december 2006 - 16:08

De kolommen van matrix A zijn A (1,0,0,0)T.  A (0,1,0,0)T.  A (0,0,1,0)T.  A (0,0,0,1)T.

Hoe kom je hieraan?

#14

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2006 - 13:37

Ik wil even opmerken dat puntje c eigenlijk niet hoeft opgelost te worden met die matrix uit puntje b.
Wat betekent het als LaTeX een eigenvector is?
DatLaTeX met LaTeX

Maar alsLaTeX hebben het linkerlid en het rechterlid niet dezelfde graad (afleiden verlaagt de graad)

DusLaTeX
De eigenvectoren zijn dan de polynomen waarvoor geldtLaTeX , en dat zijn dus precies alle constante (niet nul) polynomen

Conclusie : de enige eigenwaarde is nul, maar zijn geometrische multipliciteit is slechts 1

Hiermee hebben we ondertussen ook bewezen dat de afbeelding als LaTeX , nooit diagonaliseerbaar is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures