Ik heb een tweetal opdrachten waar ik een heel eind mee kom, echter wil ik (1) jullie hulp over het correct wiskundig opschrijven van de bewijzen en (2) hulp bij dingen waar ik niet uitkom
Zij
\(N\)
een positief geheel getal. Zij \(Pol_N\)
de lineaire ruimte van alle polynomen met graad \(\leq N\)
met coëfficiënten in \(\mathbb{R}\)
.(a) Laat zien dat
\(B={1,x,...,x^N}\)
een basis is van \(Pol_N\)
.Uit
\(r_0 1+r_1 x+...+r_n x^N=0\)
volgt louter dat \( r_0=r_1=...=r^N=0 \)
. Dus \(B\)
is lineair onafhankelijk. (1)Verder geldt
\(\forall \vec{\textbf{x}}\in Pol_N: \vec{x}=a_0 1+a_1x+...+r_n x^N\)
(want alle \(\vec{\textbf{x}} \in Pol_N\)
zijnpolynomen met een graad van maximaal
\(N\)
, dit is de algemene vormvan zo'n polynoom). Dus iedere vector uit
\(Pol_N\)
is een lineairecombinatie van
\(B\)
. (2)Uit (1) en (2) volgt dat B een basis is voor
\(Pol_N\)
.(b) Definieer de lineaire afbeelding
\(D: Pol_N\rightarrow Pol_N\)
door: voor \(f\in Pol_N\)
is \(Df=f'\)
de afgeleide van \(f\)
. Geef dematrix A van D t.o.v. de basis
\(B={1,x,...,x^N}\)
.\(D(1)=0=[0,0,0,0,...,0]\)
\(D(x)=1=[1,x^{-1},x^{-2},x^{-3},...,x^{-N}]\)
\(D(x^2)=2x=[2x,2,2x^{-1},2x^{-2},...,2x^{-(N-1)}]\)
\(D(x^3)=3x^2=[3x^2,3x,3x^{-1},...,3x^{-(N-2)}]\)
...\(D(x^N)=Nx^{N-1}=[Nx^{N-1},Nx^{N-2},Nx^{N-3},Nx^{N-4}]\)
Dus \(A=\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 2x & 3x^{2} & ... & Nx^{N-1} 0 & x^{-1} & 2 & 3x & ... & Nx^{N-2} 0 & x^{-2} & 2x^{-1} & 3 & ... & Nx^{N-3} 0 & x^{-3} & 2x^{-2} & 3x^{-1} & ...& Nx^{N-4} ... & ... & ... & ... & ... & ... 0 & x^{-N} & 2x^{-N} & 3x^{-N}& ... & Nx^{-1} \end{array} \right)\)
© Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van D m.b.v. de matrix A.De eigenwaarden berekenen we m.b.v. de 'characteristic polynomial':
\(\det(A-\lambda I)=\left| \begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 2x & 3x^{2} & ... & Nx^{N-1} 0 & (x^{-1}-\lambda) & 2 & 3x & ... & Nx^{N-2} 0 & x^{-2} & (2x^{-1}-\lambda) & 3 & ... & Nx^{N-3} 0 & x^{-3} & 2x^{-2} & (3x^{-1}-\lambda) & ...& Nx^{N-4} ... & ... & ... & ... & ... & ... 0 & x^{-N} & 2x^{-N} & 3x^{-N}& ... & (Nx^{-1}-\lambda) \end{array} \right|\)
enz. oplossen voor \(\lambda\)
.MJN VRAGEN:
zijn a) en b) goed en zo ja volledig correct wiskundig genoteerd?
Hoe doe ik c)?
PS: mijn tweede opgave hoop ik al beter te snappen als ik deze (en dan vooral c)) begrijp.
alvast bedankt
