Springen naar inhoud

ongelijkheid...aantonen


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 28 december 2004 - 12:51

stel a,b,c>0 toon aan

wortel(a+b-ab)+wortel(b+c-bc)>=wortel(a+c-ac)
k heb ergens gelezen dat je de 'geometrische interpretatie' maar ik weet niethoe.. misschien met eeh halvecirkel ofzo
en hoe moet dat met algebra? ect..

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 28 december 2004 - 20:33

Best wel moeilijk bewijsje!

Hier gaan we dan volgens de algebrasche methode:
1) Vervang a+b-ab door 1/2.[a+b+(b-a)] en pas dit principe toe
onder elke wortel.
2) Schrap in elke term de factor 1/2
3) Kwadrateer de linkse en de rechtse term
4)Breng het produkt van de wortels naar de linkerkant en de overschot
naar de rechterkant
5) Kwadrateer nogmaals
6) Reken uit en vereenvoudig

Uiteindelijk kom ik uit op:
3 . (ab + ac + bc) >= 2 . (abc + abc + abc)

Dit lijkt logischerwijs wel waar, maar het wiskundige bewijs volgt later als je er echt niet uit geraakt.

#3


  • Gast

Geplaatst op 28 december 2004 - 22:20

3 . (ab + ac + bc) >= 2 . (abc + abc + abc)

niet moeilijk ana te tonen
ac+bc >=2abc
en zoiets bij de rest ook... en dan optellen

bedankt!! het is werl.. veel rekenwerk. ikdacht misschien bestaat er een trucje ofzo...

#4


  • Gast

Geplaatst op 28 december 2004 - 22:32

3 . (ab + ac + bc) >=  2 . (abc + abc + abc)

niet moeilijk ana te tonen
ac+bc >=2abc
en zoiets bij de rest ook... en dan optellen

bedankt!! het is werl.. veel rekenwerk. ikdacht misschien bestaat er een trucje ofzo...

nog een sommetje..
stel ai+1=ai+1/ai en a1=5
toon aan dat 45< a1000<45.1 of Floor a1000=45

enig idee hoe ik moet beginnen

#5


  • Gast

Geplaatst op 29 december 2004 - 11:44

a_000 ?
bedoel je niet lim a (n-> oneindeig) ?

#6

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2004 - 11:49

a_000 ?
bedoel je niet lim a (n-> oneindeig) ?


Sorry, dit moet a1000 zijn. Mijn fout tijdens het wijzigen van zijn bericht (de subscripts werkten namelijk niet). Het is nu verbeterd.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#7

woutersmet

    woutersmet


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 december 2004 - 14:02

stel a,b,c>0 toon aan

wortel(a+b-ab)+wortel(b+c-bc)>=wortel(a+c-ac)
k heb ergens gelezen dat je de 'geometrische interpretatie' maar ik weet niethoe.. misschien met eeh halvecirkel ofzo
en hoe moet dat met algebra? ect..


geometrische interpretatie:
cosinusregel in een driehoek voor 2 zijden met lengte a,b met ingesloten hoek t=60:
c=a+b-2abcost= a+b-ab

In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60, en de aan te tonen ongelijkheid is dus simpelweg de driehoeksongelijkheid, toegepast op een gelijkzijdige driehoek.

driehoeksongelijkheid: "in een driehoek is de lengte vanelke zijde kleiner dan de som van de 2 andere"

#8


  • Gast

Geplaatst op 29 december 2004 - 15:20

stel a,b,c>0 toon aan

wortel(a+b-ab)+wortel(b+c-bc)>=wortel(a+c-ac)
k heb ergens gelezen dat je de 'geometrische interpretatie' maar ik weet niethoe.. misschien met eeh halvecirkel ofzo
en hoe moet dat met algebra? ect..


geometrische interpretatie:
cosinusregel in een driehoek voor 2 zijden met lengte a,b met ingesloten hoek t=60:
c=a+b-2abcost= a+b-ab

In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60, en de aan te tonen ongelijkheid is dus simpelweg de driehoeksongelijkheid, toegepast op een gelijkzijdige driehoek.

driehoeksongelijkheid: "in een driehoek is de lengte vanelke zijde kleiner dan de som van de 2 andere"


maar wat ik niet snap... die =teken hier
a+b-2abcost= a+b-ab ... moet dit geen ongelijkheid zijn

trouwens
a_2=a_1+1/a_1=5+1/5 ECT.. dus geen macht

#9

woutersmet

    woutersmet


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 29 december 2004 - 17:48

Nee hoor, bij mijn geometrische uitleg staat nergens een ongelijkheid te weinig denk ik. Doe het zo:

driehoeksongelijkheid:
c+a>=b

en dan (wortel uit de) cosinusregel substitueren in deze ongelijkheid, zowel voor c, a als b

#10


  • Gast

Geplaatst op 29 december 2004 - 18:56

Nee hoor, bij mijn geometrische uitleg staat nergens een ongelijkheid te weinig denk ik. Doe het zo:

driehoeksongelijkheid:
c+a>=b

en dan (wortel uit de) cosinusregel substitueren in deze ongelijkheid, zowel voor c, a als b

ach ja.. cost=cos60=0.5 en dat heft die 2 in 2abcost op..

#11


  • Gast

Geplaatst op 31 december 2004 - 18:18

Het aardige is dat a, b en c alle groter dan 0 moeten zijn (overigens gelijk 0 mag ook en dan zijn het lengtes bv van zijden van een meetkundig figuur).
Als je nu bv kiest: a=a, b=a en c=3a dan voldoen a, b en c niet(!) aan de drieh.ongel.heid maar A=sqrt(a^2+b^2-ab)=a, B=sqrt(a^2+c^2-ac)=
=a*sqrt(7) en C=sqrt(b^2+c^2-bc)=a*sqrt(7) wel en dat was ook het bewijs van de ongelijkheid welke met vereende krachten geleverd is.
De tweede opgave is een reeks die recursief gegeven is, met Excel is deze eenvoudig te verifiren. Ik heb niet begrepen of dat de bedoeling van de opgave is.

#12


  • Gast

Geplaatst op 31 december 2004 - 19:48

Het aardige is dat a, b en c alle groter dan 0 moeten zijn (overigens gelijk 0 mag ook en dan zijn het lengtes bv van zijden van een meetkundig figuur).
Als je nu bv kiest: a=a, b=a en c=3a dan voldoen a, b en c niet(!) aan de drieh.ongel.heid maar A=sqrt(a^2+b^2-ab)=a, B=sqrt(a^2+c^2-ac)=
=a*sqrt(7) en C=sqrt(b^2+c^2-bc)=a*sqrt(7) wel en dat was ook het bewijs van de ongelijkheid welke met vereende krachten geleverd is.
De tweede opgave is een reeks die recursief gegeven is, met Excel is deze eenvoudig te verifiren. Ik heb niet begrepen of dat de bedoeling van de opgave is.

mm ff over de tweede opgave..
die moet inderdaad niet met excel ofzo :S, gewoon op een 'handige' manier dat je het antwoord bijvoorbeeld binnen 30 min krijgt ( gemiddelde voor zo'n olym. opgave)..
maar hoe doe je dat weer met excel?

#13


  • Gast

Geplaatst op 01 januari 2005 - 17:03

Zet in a1 5 en in a2 de formule a1+1/a1, daarna copieer je de formule in kolom A.

#14

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2005 - 16:01

Is het ook mogelijk om dit vraagstuk op te lossen met pen en papier. Als dit kan, kan iemand dan een tipje van de sluier lichten? Ik zit namelijk muurvast.

#15


  • Gast

Geplaatst op 12 januari 2005 - 20:51

Welke Olympiade opgave is dit? (jaar en land)
Verder denk ik dat je hier een aparte vraag van moet opzetten.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures