ongelijkheid...aantonen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter

ongelijkheid...aantonen

stel a,b,c>0 toon aan

wortel(a²+b²-ab)+wortel(b²+c²-bc)>=wortel(a²+c²-ac)

k heb ergens gelezen dat je de 'geometrische interpretatie' maar ik weet niethoe.. misschien met eeh halvecirkel ofzo

en hoe moet dat met algebra? ect..

Re: ongelijkheid...aantonen

Best wel moeilijk bewijsje!

Hier gaan we dan volgens de algebraïsche methode:

1) Vervang a²+b²-ab door 1/2.[a²+b²+(b-a)²] en pas dit principe toe

onder elke wortel.

2) Schrap in elke term de factor 1/2

3) Kwadrateer de linkse en de rechtse term

4)Breng het produkt van de wortels naar de linkerkant en de overschot

naar de rechterkant

5) Kwadrateer nogmaals

6) Reken uit en vereenvoudig

Uiteindelijk kom ik uit op:

3 . (a²b² + a²c² + b²c²) >= 2 . (a²bc + ab²c + abc²)

Dit lijkt logischerwijs wel waar, maar het wiskundige bewijs volgt later als je er echt niet uit geraakt.

Re: ongelijkheid...aantonen

3 . (a²b² + a²c² + b²c²) >= 2 . (a²bc + ab²c + abc²)

niet moeilijk ana te tonen

a²c²+b²c² >=2abc²

en zoiets bij de rest ook... en dan optellen

bedankt!! het is werl.. veel rekenwerk. ikdacht misschien bestaat er een trucje ofzo...

Re: ongelijkheid...aantonen

gakkerdisnietgek schreef:3 . (a²b² + a²c² + b²c²) >=  2 . (a²bc + ab²c + abc²)

niet moeilijk ana te tonen

a²c²+b²c² >=2abc²

en zoiets bij de rest ook... en dan optellen

bedankt!! het is werl.. veel rekenwerk. ikdacht misschien bestaat er een trucje ofzo...
nog een sommetje..

stel ai+1=ai+1/ai en a1=5

toon aan dat 45< a1000<45.1 of Floor a1000=45

enig idee hoe ik moet beginnen

Re: ongelijkheid...aantonen

a_000 ?

bedoel je niet lim a (n-> oneindeig) ?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.224

Re: ongelijkheid...aantonen

Anonymous schreef:a_000 ?

bedoel je niet lim a (n-> oneindeig) ?


Sorry, dit moet a1000 zijn. Mijn fout tijdens het wijzigen van zijn bericht (de subscripts werkten namelijk niet). Het is nu verbeterd.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

Berichten: 9

Re: ongelijkheid...aantonen

gakkerd schreef:stel a,b,c>0 toon aan

wortel(a²+b²-ab)+wortel(b²+c²-bc)>=wortel(a²+c²-ac)

k heb ergens gelezen dat je de 'geometrische interpretatie' maar ik weet niethoe.. misschien met eeh halvecirkel ofzo

en hoe moet dat met algebra? ect..
geometrische interpretatie:

cosinusregel in een driehoek voor 2 zijden met lengte a,b met ingesloten hoek t=60°:

c²=a²+b²-2abcost= a²+b²-ab

In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60°, en de aan te tonen ongelijkheid is dus simpelweg de driehoeksongelijkheid, toegepast op een gelijkzijdige driehoek.

driehoeksongelijkheid: "in een driehoek is de lengte vanelke zijde kleiner dan de som van de 2 andere"

Re: ongelijkheid...aantonen

woutersmet schreef:
gakkerd schreef:stel a,b,c>0 toon aan

wortel(a²+b²-ab)+wortel(b²+c²-bc)>=wortel(a²+c²-ac)

k heb ergens gelezen dat je de 'geometrische interpretatie' maar ik weet niethoe.. misschien met eeh halvecirkel ofzo

en hoe moet dat met algebra? ect..
geometrische interpretatie:

cosinusregel in een driehoek voor 2 zijden met lengte a,b met ingesloten hoek t=60°:

c²=a²+b²-2abcost= a²+b²-ab

In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60°, en de aan te tonen ongelijkheid is dus simpelweg de driehoeksongelijkheid, toegepast op een gelijkzijdige driehoek.

driehoeksongelijkheid: "in een driehoek is de lengte vanelke zijde kleiner dan de som van de 2 andere"
maar wat ik niet snap... die =teken hier

a²+b²-2abcost= a²+b²-ab ... moet dit geen ongelijkheid zijn

trouwens

a_2=a_1+1/a_1=5+1/5 ECT.. dus geen macht

Berichten: 9

Re: ongelijkheid...aantonen

Nee hoor, bij mijn geometrische uitleg staat nergens een ongelijkheid te weinig denk ik. Doe het zo:

driehoeksongelijkheid:

c+a>=b

en dan (wortel uit de) cosinusregel substitueren in deze ongelijkheid, zowel voor c, a als b

Re: ongelijkheid...aantonen

woutersmet schreef:Nee hoor, bij mijn geometrische uitleg staat nergens een ongelijkheid te weinig denk ik. Doe het zo:

driehoeksongelijkheid:

c+a>=b

en dan (wortel uit de) cosinusregel substitueren in deze ongelijkheid, zowel voor c, a als b
ach ja.. cost=cos60=0.5 en dat heft die 2 in 2abcost op..

Re: ongelijkheid...aantonen

Het aardige is dat a, b en c alle groter dan 0 moeten zijn (overigens gelijk 0 mag ook en dan zijn het lengtes bv van zijden van een meetkundig figuur).

Als je nu bv kiest: a=a, b=a en c=3a dan voldoen a, b en c niet(!) aan de drieh.ongel.heid maar A=sqrt(a^2+b^2-ab)=a, B=sqrt(a^2+c^2-ac)=

=a*sqrt(7) en C=sqrt(b^2+c^2-bc)=a*sqrt(7) wel en dat was ook het bewijs van de ongelijkheid welke met vereende krachten geleverd is.

De tweede opgave is een reeks die recursief gegeven is, met Excel is deze eenvoudig te verifiëren. Ik heb niet begrepen of dat de bedoeling van de opgave is.

Re: ongelijkheid...aantonen

Safe schreef:Het aardige is dat a, b en c alle groter dan 0 moeten zijn (overigens gelijk 0 mag ook en dan zijn het lengtes bv van zijden van een meetkundig figuur).

Als je nu bv kiest: a=a, b=a en c=3a dan voldoen a, b en c niet(!) aan de drieh.ongel.heid maar A=sqrt(a^2+b^2-ab)=a, B=sqrt(a^2+c^2-ac)=

=a*sqrt(7) en C=sqrt(b^2+c^2-bc)=a*sqrt(7) wel en dat was ook het bewijs van de ongelijkheid welke met vereende krachten geleverd is.

De tweede opgave is een reeks die recursief gegeven is, met Excel is deze eenvoudig te verifiëren. Ik heb niet begrepen of dat de bedoeling van de opgave is.
mm ff over de tweede opgave..

die moet inderdaad niet met excel ofzo :S, gewoon op een 'handige' manier dat je het antwoord bijvoorbeeld binnen 30 min krijgt ( gemiddelde voor zo'n olym. opgave)..

maar hoe doe je dat weer met excel?

Re: ongelijkheid...aantonen

Zet in a1 5 en in a2 de formule a1+1/a1, daarna copieer je de formule in kolom A.

Berichten: 94

Re: ongelijkheid...aantonen

Is het ook mogelijk om dit vraagstuk op te lossen met pen en papier. Als dit kan, kan iemand dan een tipje van de sluier lichten? Ik zit namelijk muurvast.

Re: ongelijkheid...aantonen

Welke Olympiade opgave is dit? (jaar en land)

Verder denk ik dat je hier een aparte vraag van moet opzetten.

Reageer