ongelijkheid...aantonen
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
ongelijkheid...aantonen
stel a,b,c>0 toon aan
wortel(a²+b²-ab)+wortel(b²+c²-bc)>=wortel(a²+c²-ac)
k heb ergens gelezen dat je de 'geometrische interpretatie' maar ik weet niethoe.. misschien met eeh halvecirkel ofzo
en hoe moet dat met algebra? ect..
wortel(a²+b²-ab)+wortel(b²+c²-bc)>=wortel(a²+c²-ac)
k heb ergens gelezen dat je de 'geometrische interpretatie' maar ik weet niethoe.. misschien met eeh halvecirkel ofzo
en hoe moet dat met algebra? ect..
Re: ongelijkheid...aantonen
Best wel moeilijk bewijsje!
Hier gaan we dan volgens de algebraïsche methode:
1) Vervang a²+b²-ab door 1/2.[a²+b²+(b-a)²] en pas dit principe toe
onder elke wortel.
2) Schrap in elke term de factor 1/2
3) Kwadrateer de linkse en de rechtse term
4)Breng het produkt van de wortels naar de linkerkant en de overschot
naar de rechterkant
5) Kwadrateer nogmaals
6) Reken uit en vereenvoudig
Uiteindelijk kom ik uit op:
3 . (a²b² + a²c² + b²c²) >= 2 . (a²bc + ab²c + abc²)
Dit lijkt logischerwijs wel waar, maar het wiskundige bewijs volgt later als je er echt niet uit geraakt.
Hier gaan we dan volgens de algebraïsche methode:
1) Vervang a²+b²-ab door 1/2.[a²+b²+(b-a)²] en pas dit principe toe
onder elke wortel.
2) Schrap in elke term de factor 1/2
3) Kwadrateer de linkse en de rechtse term
4)Breng het produkt van de wortels naar de linkerkant en de overschot
naar de rechterkant
5) Kwadrateer nogmaals
6) Reken uit en vereenvoudig
Uiteindelijk kom ik uit op:
3 . (a²b² + a²c² + b²c²) >= 2 . (a²bc + ab²c + abc²)
Dit lijkt logischerwijs wel waar, maar het wiskundige bewijs volgt later als je er echt niet uit geraakt.
Re: ongelijkheid...aantonen
3 . (a²b² + a²c² + b²c²) >= 2 . (a²bc + ab²c + abc²)
niet moeilijk ana te tonen
a²c²+b²c² >=2abc²
en zoiets bij de rest ook... en dan optellen
bedankt!! het is werl.. veel rekenwerk. ikdacht misschien bestaat er een trucje ofzo...
niet moeilijk ana te tonen
a²c²+b²c² >=2abc²
en zoiets bij de rest ook... en dan optellen
bedankt!! het is werl.. veel rekenwerk. ikdacht misschien bestaat er een trucje ofzo...
Re: ongelijkheid...aantonen
nog een sommetje..gakkerdisnietgek schreef:3 . (a²b² + a²c² + b²c²) >= 2 . (a²bc + ab²c + abc²)
niet moeilijk ana te tonen
a²c²+b²c² >=2abc²
en zoiets bij de rest ook... en dan optellen
bedankt!! het is werl.. veel rekenwerk. ikdacht misschien bestaat er een trucje ofzo...
stel ai+1=ai+1/ai en a1=5
toon aan dat 45< a1000<45.1 of Floor a1000=45
enig idee hoe ik moet beginnen
- Berichten: 7.224
Re: ongelijkheid...aantonen
Anonymous schreef:a_000 ?
bedoel je niet lim a (n-> oneindeig) ?
Sorry, dit moet a1000 zijn. Mijn fout tijdens het wijzigen van zijn bericht (de subscripts werkten namelijk niet). Het is nu verbeterd.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton
-
- Berichten: 9
Re: ongelijkheid...aantonen
geometrische interpretatie:gakkerd schreef:stel a,b,c>0 toon aan
wortel(a²+b²-ab)+wortel(b²+c²-bc)>=wortel(a²+c²-ac)
k heb ergens gelezen dat je de 'geometrische interpretatie' maar ik weet niethoe.. misschien met eeh halvecirkel ofzo
en hoe moet dat met algebra? ect..
cosinusregel in een driehoek voor 2 zijden met lengte a,b met ingesloten hoek t=60°:
c²=a²+b²-2abcost= a²+b²-ab
In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60°, en de aan te tonen ongelijkheid is dus simpelweg de driehoeksongelijkheid, toegepast op een gelijkzijdige driehoek.
driehoeksongelijkheid: "in een driehoek is de lengte vanelke zijde kleiner dan de som van de 2 andere"
Re: ongelijkheid...aantonen
maar wat ik niet snap... die =teken hierwoutersmet schreef:geometrische interpretatie:gakkerd schreef:stel a,b,c>0 toon aan
wortel(a²+b²-ab)+wortel(b²+c²-bc)>=wortel(a²+c²-ac)
k heb ergens gelezen dat je de 'geometrische interpretatie' maar ik weet niethoe.. misschien met eeh halvecirkel ofzo
en hoe moet dat met algebra? ect..
cosinusregel in een driehoek voor 2 zijden met lengte a,b met ingesloten hoek t=60°:
c²=a²+b²-2abcost= a²+b²-ab
In een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60°, en de aan te tonen ongelijkheid is dus simpelweg de driehoeksongelijkheid, toegepast op een gelijkzijdige driehoek.
driehoeksongelijkheid: "in een driehoek is de lengte vanelke zijde kleiner dan de som van de 2 andere"
a²+b²-2abcost= a²+b²-ab ... moet dit geen ongelijkheid zijn
trouwens
a_2=a_1+1/a_1=5+1/5 ECT.. dus geen macht
-
- Berichten: 9
Re: ongelijkheid...aantonen
Nee hoor, bij mijn geometrische uitleg staat nergens een ongelijkheid te weinig denk ik. Doe het zo:
driehoeksongelijkheid:
c+a>=b
en dan (wortel uit de) cosinusregel substitueren in deze ongelijkheid, zowel voor c, a als b
driehoeksongelijkheid:
c+a>=b
en dan (wortel uit de) cosinusregel substitueren in deze ongelijkheid, zowel voor c, a als b
Re: ongelijkheid...aantonen
ach ja.. cost=cos60=0.5 en dat heft die 2 in 2abcost op..woutersmet schreef:Nee hoor, bij mijn geometrische uitleg staat nergens een ongelijkheid te weinig denk ik. Doe het zo:
driehoeksongelijkheid:
c+a>=b
en dan (wortel uit de) cosinusregel substitueren in deze ongelijkheid, zowel voor c, a als b
Re: ongelijkheid...aantonen
Het aardige is dat a, b en c alle groter dan 0 moeten zijn (overigens gelijk 0 mag ook en dan zijn het lengtes bv van zijden van een meetkundig figuur).
Als je nu bv kiest: a=a, b=a en c=3a dan voldoen a, b en c niet(!) aan de drieh.ongel.heid maar A=sqrt(a^2+b^2-ab)=a, B=sqrt(a^2+c^2-ac)=
=a*sqrt(7) en C=sqrt(b^2+c^2-bc)=a*sqrt(7) wel en dat was ook het bewijs van de ongelijkheid welke met vereende krachten geleverd is.
De tweede opgave is een reeks die recursief gegeven is, met Excel is deze eenvoudig te verifiëren. Ik heb niet begrepen of dat de bedoeling van de opgave is.
Als je nu bv kiest: a=a, b=a en c=3a dan voldoen a, b en c niet(!) aan de drieh.ongel.heid maar A=sqrt(a^2+b^2-ab)=a, B=sqrt(a^2+c^2-ac)=
=a*sqrt(7) en C=sqrt(b^2+c^2-bc)=a*sqrt(7) wel en dat was ook het bewijs van de ongelijkheid welke met vereende krachten geleverd is.
De tweede opgave is een reeks die recursief gegeven is, met Excel is deze eenvoudig te verifiëren. Ik heb niet begrepen of dat de bedoeling van de opgave is.
Re: ongelijkheid...aantonen
mm ff over de tweede opgave..Safe schreef:Het aardige is dat a, b en c alle groter dan 0 moeten zijn (overigens gelijk 0 mag ook en dan zijn het lengtes bv van zijden van een meetkundig figuur).
Als je nu bv kiest: a=a, b=a en c=3a dan voldoen a, b en c niet(!) aan de drieh.ongel.heid maar A=sqrt(a^2+b^2-ab)=a, B=sqrt(a^2+c^2-ac)=
=a*sqrt(7) en C=sqrt(b^2+c^2-bc)=a*sqrt(7) wel en dat was ook het bewijs van de ongelijkheid welke met vereende krachten geleverd is.
De tweede opgave is een reeks die recursief gegeven is, met Excel is deze eenvoudig te verifiëren. Ik heb niet begrepen of dat de bedoeling van de opgave is.
die moet inderdaad niet met excel ofzo :S, gewoon op een 'handige' manier dat je het antwoord bijvoorbeeld binnen 30 min krijgt ( gemiddelde voor zo'n olym. opgave)..
maar hoe doe je dat weer met excel?
Re: ongelijkheid...aantonen
Zet in a1 5 en in a2 de formule a1+1/a1, daarna copieer je de formule in kolom A.
-
- Berichten: 94
Re: ongelijkheid...aantonen
Is het ook mogelijk om dit vraagstuk op te lossen met pen en papier. Als dit kan, kan iemand dan een tipje van de sluier lichten? Ik zit namelijk muurvast.
Re: ongelijkheid...aantonen
Welke Olympiade opgave is dit? (jaar en land)
Verder denk ik dat je hier een aparte vraag van moet opzetten.
Verder denk ik dat je hier een aparte vraag van moet opzetten.