Springen naar inhoud

Rij gezocht.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 10:45

Ik mijn boekje bewijzen ze dat een begrensde rij altijd een convergente deelrij heeft.
Ze doen dit in twee gevallen: ten eerste het geval waar men in beschouwt dat de waarde verzameling eindig is en ten tweede het geval waar die waarde verzameling oneidig is.

Nu is mijn vraag wie kan mij een rij bedenken die en begrensd is en een waarde verzameling heeft die oneindig is?

Groeten.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 11:02

Ik weet niet wat een "waarde verzameling" is. Maar hier is een hint: als een oneindig lange rij begrensd is, laten we zeggen a :) xi :) b [vooralle]xi, dan kun je het interval [a,b] in tweeën delen, dus [a,(a+b)/2] en [(a+b)/2,b], en dan zit er in minstens één van die twee deelintervallen, die slechts half zo groot zijn als het oorspronkelijke interval (!), oneindig veel elementen van de rij.

Heb je daar iets aan of zit die oneindige waarde verzameling (?) in de weg?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 11:50

Een voorbeeld neem LaTeX

dan zegt men dat de waarde verzameling LaTeX de waarde verzameling is. Of nog we zien dus dat enkel min één en plus een optreden, dus die verzameling is eindig.

Fout die ik daarstraks maakten is waarschijnlijk dat ik dacht indien ik een oneindige waardeverzameling nodig heb ik alle positieve reele getallen moet doorlopen hebben. Dat zal dus niet zijn.

Of dus LaTeX bezit een oneidig aantal waardes je kan ze immers niet aftellen maar dat is dan niet hetzelfde als alle waardes waarom dat ik dat straks dacht wet ik nu ook niet meer.

Dus vermoed ik dat LaTeX effectief een rij is die een oneindige waardeverzameling heeft en niet convergeert. Dit klopt?

Groeten. Bedankt.

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 13 december 2006 - 11:59

Dus vermoed ik dat LaTeX

effectief een rij is die een oneindige waardeverzameling heeft en niet convergeert. Dit klopt?

Die rij convergeert naar 0.
de rij LaTeX is een rij die divergeert en een oneindige waardeverzameling heeft.

#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 12:06

Ah zo. Dan blijft mijn hint naar het bewijs hierboven geldig, de (on)eindigheid van de waardeverzameling doet daar niks aan af.

Bewijzen dat er een convergente deelrij is, is trouwens wel makkelijker als je weet dat de waardeverzameling eindig is.

Dus vermoed ik dat LaTeX

effectief een rij is die een oneindige waardeverzameling heeft en niet convergeert. Dit klopt?

Dat is inderdaad een begrensde rij met een oneindige waardeverzameling (geldt ook voor gewoon LaTeX trouwens), maar zoals PeterPan al zei convergeert hij wel.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 12:30

Nu is mijn vraag wie kan mij een rij bedenken die en begrensd is en een waarde verzameling heeft die oneindig is?

Neem de rij u(n) = 1/n, met n vanaf 1 (indien 0 in jouw definitie, neem 1/(n+1)).
Dan geldt voor elke n dat LaTeX , dus begrensd (en convergent naar 0).
Maar: de waarde verzameling is oneindig, voor elke n heb je namelijk een andere u(n).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 12:51

maar ik zoek een rij die begrensd is en niet convergeert en een oneindige waarde verzameling heeft.

Och ja ben voor die rij dus wel veeleisend vandaag.

Groeten.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 13:00

Neem bijvoorbeeld:

LaTeX

De rij is begrensd (maximaal 1 en groter dan -1/2) en de waardeverzameling is oneindig.
Voor even n convergentie naar 1/2, oneven n naar -1/2; dus heb je ook al je convergente deelrijen :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 13:30

Of LaTeX

Bert, een begrensde rij heeft dus wel altijd een convergente deelrij, ook als de hele rij zelf niet convergeert en de waardeverzameling oneindig is.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#10

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 15:52

Maar volledig dus divergent.
Ik dacht eerst dat, dat te veel gevraagd was, niet kon dus.

Bedankt tja dat men wil bewijzen dat er altijd zo'n convergente deelrij is dat is het geen wat men nu hier aan het behandelen is.

Groeten. :wink:

#11

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 16:07

En om het extra interessant te maken zou je nog kunnen bewijzen dat een begrensde, niet-convergerende rij minstens twee convergente deelrijen heeft Geplaatste afbeelding
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#12

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 19:52

Hier stelt men altijd één. Waarom zijn dat er dan twee?

Groeten.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 19:58

In het algemeen (voor een begrensde rij) is het er één.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 20:06

In het algemeen (voor een begrensde rij) is het er één.

toch gek. als ik nu de eerste N getallen van de convergente deelrij anders kies, en daarna overga op de convergente rij heb ik toch al aangetoond dat de verzameling zulke rijen (minstens) aftelbaar is. maximaal is nog trivialer. besluit: de verzameling is aftelbaar.

#15

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 23:41

Hier het bewijs dat er twee convergente deelrijen zijn.

Eerst voor één convergente deelrij: stel, LaTeX is een begrensde, niet-convergerende rij. Dan LaTeX voor zekere a en b. Als je dit interval in tweeën deelt, dan liggen er in minstens één van de twee intervallen [a,(a+b)/2] en [(a+b)/2,b] oneindig veel elementen LaTeX .

Neem nu het eerste deelinterval waar oneindig veel elementen van de rij in liggen, en pas diezelfde stap op dat deelinterval toe. Je kunt op die manier een willekeurig klein interval construeren (willekeurig klein als in [p,q] met q-p<LaTeX ) waar oneindig veel elementen van de rij in liggen. Met andere woorden er is een (minstens één) getal c (met a[kleinergelijk]c[kleinergelijk]b) zodat voor iedere LaTeX >0 er oneindig veel elementen in LaTeX liggen. Daar zit dus een convergente deelrij.

Dan voor twee convergente deelrijen: als je uit de rij LaTeX op bovenstaande wijze een convergente deelrij LaTeX met LaTeX hebt geconstrueerd, kun je ook een deelrij LaTeX definiëren van alle LaTeX die je overhoudt als je alle LaTeX eruit laat.

De rij LaTeX omvat oneindig veel elementen, want als er na het verwijderen van een convergente deelrij nog maar eindig veel elementen overhoudt, zou de oorspronkelijke rij LaTeX zelf convergent zijn geweest. Je hebt nu dus een nieuwe begrensde rij LaTeX . Deze is ofwel convergent, en dan is de stelling bewezen, ofwel niet convergent, en dan zit er volgens bovenstaande stelling een convergente deelrij in die strikt verschillend is van LaTeX .
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures