Springen naar inhoud

Bewijs ivm ophopingspunten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 20:11

Hoi,

ik moet volgende stelling bewijzen, en ik ondervind hier moeilijkheden mee omdat de stelling zo abstract is voor mij. Ik heb toch een poging gedaan...

Beschouw een niet-lege verzameling A :) :). Toon aan dat een punt a :) :D een ophopingspunt is van A als en slechts als er in elk open interval dat a bevat, oneindig veel punten van A zitten.


Kies een a :) A willekeurig.
Beschouw dit interval: ]a - delta.gif , a + delta.gif [. Voor een willekeurige rij xn uit dit interval geldt dan: a - delta.gif < xn < a + delta.gif . Dit is equivalent met: |xn-a| < delta.gif

Voor een willekeurige delta.gif > 0 kunnen dus een n0 vinden zo, dat wanneer n > n0, xn convergeert naar a.

Omdat xn een rij is in A, die naar a convergeert, is a een ophopingspunt van A.

Q.E.D.
------------------------------------

NB: Dit is de definitie voor een ophopingspunt:

zij A :) ;) n. We noemen a :) ;) n een ophopingspunt van A als er een rij xk in A{a} bestaat die naar a convergeert.



Alvast bedankt!
Groeten,
Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 21:15

a is een ophopingspunt van A LaTeX in elk open interval dat a bevat, zitten oneindig veel punten van A

Bewijs uit het ongerijmde:
a is een ophopingspunt.
Stel dat er een open interval B bestaat dat a bevat, waar een eindig aantal punten van A in zitten:
LaTeX

Dan is er een punt p in B{a} die het dichste bij a ligt van alle punten uit B{a}, met een afstand d:=|a-p|.

Dan is er geen rij mogelijk in B{a} die naar a convergeert, want voor elk punt b in B{a} geldt |a-b| LaTeX d = |a-p|. Dan is a geen ophopingspunt.

Dus als a een ophopingspunt is, dan moeten in elk open interval dat a bevat, wel oneindig veel punten van A zitten.


in elk open interval dat a bevat, zitten oneindig veel punten van A LaTeX a is een ophopingspunt van A

Neem de open intervallen LaTeX met LaTeX .

In elk interval LaTeX zit een punt LaTeX van A.
En LaTeX .

De rij LaTeX convergeert dan naar a, want voor elke LaTeX geldt voor alle LaTeX
LaTeX

Dus a is een ophopingspunt van A.

#3

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 december 2006 - 08:35

Het idee klopt volgens mij inderdaad, alleen de uitwerking op het einde, ivm die convergentie, klopt niet 100%, want je definiŽert nergens en j nergens. Ook die afschatting is niet goed uitgewerkt, dat moet zijn:

Kies een j0>1/epsilon.gif, dan geldt voor elke j > j0
LaTeX


Het idee heeft me goed geholpen, bedankt phi hung!
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#4

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 december 2006 - 20:53

Ik schreef toch voor alle j > 1/eps, net als jij. Ik had misschien erbij kunnen zetten: j moet een element zijn uit de verzameling van natuurlijke getallen.
Jij kiest alleen nog een j0 erbij.

LaTeX is niet goed hoor. Bijvoorbeeld voor j=1000, is pj - a < LaTeX = 1000; dat zegt ook niets.

#5

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 december 2006 - 22:42

Waarom zou dat niets zeggen?
Dat zegt: De afstand van het punt pj tot a is kleiner dan 1000..
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#6

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 december 2006 - 23:36

Als je wilt aantonen dat iets naar a convergeert, dan moet je een rij vinden die vanaf een zekere moment minder dan eps afwijkt van a. Neem je voor eps 1000, dan zegt dat inderdaad dat het minder dan 1000 van a afwijkt. Dat zegt echter niets over convergentie. Pas als eps alsmaar kleiner (niet alsmaar groter!) wordt en er is steeds een element uit de rij die minder afwijkt dan eps, dan kan je iets zeggen over convergentie.

#7

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2006 - 11:49

Juist, kies jij een epsilon.gif willekeurig klein of groot. Dan kan ik een j0 construeren: j0 > 1/epsilon.gif , zo dat voor elke j > j0 geldt dat de rij kleiner is dan epsilon.gif.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures