Springen naar inhoud

[Wiskunde] Kardinaliteit


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2006 - 19:06

Stel X is een niet-lege verzameling.

Ik moet aantonen dat alle deelverzamelingen van X en 2^X dezelfde kardinaliteit hebben. Hoe doe ik dat?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 december 2006 - 19:16

Niet, want die stelling lijkt me onwaar.

Neem bijvoorbeeld X = :) en als deelverzameling {1,2,3}:)[rr], dan hebben die twee niet dezelfde kardinaliteit.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 december 2006 - 19:20

misschien lees je verkeerd... Het gaat om het totale aantal deelverzamelingen, niet om elke deelverzameling afzonderlijk... Want dat doe je volgens mij nu.

#4

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2006 - 12:08

Okee, in dat geval: als je X={1,2,3} neemt, dan heeft X kardinaliteit 3. Maar LaTeX , de machtsverzameling van X = alle deelverzamelingen van X, heeft kardinaliteit 8.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#5

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 december 2006 - 13:08

Hier volgt de opgave zoals tie in mijn boek staat. Misschien is mijn Engels dan niet goed [rr]

Let X be a nonempty set. Show that LaTeX and 2^X have the same cardinality.

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2006 - 13:15

Ah, ja ok, dan klopt de stelling. Begrijp je de definitie van 2X ? Want dat is bijna één op één hetzelfde als LaTeX .
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 december 2006 - 13:16

Nee, dat begrijp ik niet... Anders wist ik het wel [rr]

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2006 - 13:18

2X is de verzameling van alle functies van X naar {0,1}.

Je kunt de gelijkheid van kardinaliteit aantonen door een bijectie te geven tussen LaTeX en 2X.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 december 2006 - 13:29

Ik begrijp eerlijk gezegd nog niet echt heel veel van kardinaliteit. Laat staan hoe je het aantoont. Want dat is de bedoeling...

#10

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2006 - 13:41

Ok, kardinaliteit is het aantal elementen of de "grootte" van een verzameling. Voor eindige verzamelingen is dat makkelijk, de kardinaliteit van bijvoorbeeld de verzameling {1,2,3,4} is vier, want er zitten vier elementen in.

Voor oneindige verzamelingen spreek je ook van kardinaliteit, maar niet domweg :) ("oneindig"), want er zijn verschillende soorten oneindig.

Zo is de kardinaliteit van :), de natuurlijke getallen, LaTeX ("aleph nul"). Dat is aftelbaar oneindig. Dat wil zeggen wel oneindig, maar je kunt een manier verzinnen om één voor één de elementen af te gaan en ieder element kom je dan vroeg of laat een keer tegen. Met bijvoorbeeld [rr], de rationale getallen, kan dat ook, dus die twee hebben dezelfde kardinaliteit. Voor :) kan dat niet, die heeft dus een hogere kardinaliteit.

Terug naar je stelling, want voor het bewijs hoef je weinig van kardinaliteit te weten: kun je een bijectie maken tussen LaTeX , de verzameling van alle deelverzamelingen van X, en 2X, de verzameling van alle functies van X naar de {0,1} ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2006 - 14:51

Zie ook hier, meer bepaalde het stukje "The notation 2^S"
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 december 2006 - 15:51

Oke, ik heb het even doorgenomen, maar die bijectie lukt niet... Is het de bedoeling dat ik een functie bedenk die zowel injectief als surjectief is? Hoe doe ik dat in dit geval?

#13

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2006 - 16:17

Precies, een bijectie is een functie die zowel injectief als surjectief is, een één-op-één functie tussen twee verzamelingen dus.

Deze functie ligt erg voor de hand:
LaTeX
LaTeX
Waarbij LaTeX (dus Y[deelvangelijk]X), en 1Y(x) is de functie van X naar {0,1} die 1 geeft als x[element]Y en anders 0 (waarbij x een element is van X).

Ziet er misschien ingewikkeld uit, maar zodra je doorhebt wat dit precies doet is het echt heel simpel. Wel even het verschil in de gaten houden tussen deelverzameling en element (en element waarvan).

Schrijf anders desnoods een voorbeeld uit, waarbij X een hele makkelijke verzameling is, bijvoorbeeld {1,2,3}.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures