[Wiskunde] Kardinaliteit

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 175

[Wiskunde] Kardinaliteit

Stel X is een niet-lege verzameling.

Ik moet aantonen dat alle deelverzamelingen van X en 2^X dezelfde kardinaliteit hebben. Hoe doe ik dat?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

Niet, want die stelling lijkt me onwaar.

Neem bijvoorbeeld X = :) en als deelverzameling {1,2,3} :) [rr] , dan hebben die twee niet dezelfde kardinaliteit.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 175

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

misschien lees je verkeerd... Het gaat om het totale aantal deelverzamelingen, niet om elke deelverzameling afzonderlijk... Want dat doe je volgens mij nu.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

Okee, in dat geval: als je X={1,2,3} neemt, dan heeft X kardinaliteit 3. Maar
\(\mathcal{P}(X)\)
, de machtsverzameling van X = alle deelverzamelingen van X, heeft kardinaliteit 8.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 175

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

Hier volgt de opgave zoals tie in mijn boek staat. Misschien is mijn Engels dan niet goed [rr]

Let X be a nonempty set. Show that
\(\mathcal{P}(X)\)
and 2^X have the same cardinality.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

Ah, ja ok, dan klopt de stelling. Begrijp je de definitie van 2X ? Want dat is bijna één op één hetzelfde als
\(\mathcal{P}(X)\)
.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 175

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

Nee, dat begrijp ik niet... Anders wist ik het wel [rr]

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

2X is de verzameling van alle functies van X naar {0,1}.

Je kunt de gelijkheid van kardinaliteit aantonen door een bijectie te geven tussen
\(\mathcal{P}(X)\)
en 2X.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 175

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

Ik begrijp eerlijk gezegd nog niet echt heel veel van kardinaliteit. Laat staan hoe je het aantoont. Want dat is de bedoeling...

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

Ok, kardinaliteit is het aantal elementen of de "grootte" van een verzameling. Voor eindige verzamelingen is dat makkelijk, de kardinaliteit van bijvoorbeeld de verzameling {1,2,3,4} is vier, want er zitten vier elementen in.

Voor oneindige verzamelingen spreek je ook van kardinaliteit, maar niet domweg :) ("oneindig"), want er zijn verschillende soorten oneindig.

Zo is de kardinaliteit van :) , de natuurlijke getallen,
\(\aleph_0\)
("aleph nul"). Dat is aftelbaar oneindig. Dat wil zeggen wel oneindig, maar je kunt een manier verzinnen om één voor één de elementen af te gaan en ieder element kom je dan vroeg of laat een keer tegen. Met bijvoorbeeld [rr] , de rationale getallen, kan dat ook, dus die twee hebben dezelfde kardinaliteit. Voor :) kan dat niet, die heeft dus een hogere kardinaliteit.

Terug naar je stelling, want voor het bewijs hoef je weinig van kardinaliteit te weten: kun je een bijectie maken tussen
\(\mathcal{P}(X)\)
, de verzameling van alle deelverzamelingen van X, en 2X, de verzameling van alle functies van X naar de {0,1} ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

Zie ook hier, meer bepaalde het stukje "The notation 2^S"
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 175

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

Oke, ik heb het even doorgenomen, maar die bijectie lukt niet... Is het de bedoeling dat ik een functie bedenk die zowel injectief als surjectief is? Hoe doe ik dat in dit geval?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: [Wiskunde] Kardinaliteit

Precies, een bijectie is een functie die zowel injectief als surjectief is, een één-op-één functie tussen twee verzamelingen dus.

Deze functie ligt erg voor de hand:
\(f:\mathcal{P}(X)\longmapsto 2^X\)
\(f(Y)=1_Y (x)\)
Waarbij
\(Y\in \mathcal{P}(X)\)
(dus Y[deelvangelijk]X), en 1Y(x) is de functie van X naar {0,1} die 1 geeft als x[element]Y en anders 0 (waarbij x een element is van X).

Ziet er misschien ingewikkeld uit, maar zodra je doorhebt wat dit precies doet is het echt heel simpel. Wel even het verschil in de gaten houden tussen deelverzameling en element (en element waarvan).

Schrijf anders desnoods een voorbeeld uit, waarbij X een hele makkelijke verzameling is, bijvoorbeeld {1,2,3}.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Reageer