Formule van Binet bewijzen
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
- Berichten: 203
Formule van Binet bewijzen
Hallo, ik heb een beetje een klein probleempje. Ik moet morgen mijn profielwerkstuk inleveren, en van mijn leraar moet ik er nog een bewijs inzetten van de formule van Binet.
Dat is de volgende formule:
Ik heb al het een en ander op dit forum ervan gezien, maar dat snapte ik niet echt... (ik ben maar een simpel Havo-5'ertje....)
( http://www.wetenschapsforum.nl/invision/in...dpost&pid=88170 -> die ging over Matrix-berekeningen ofzo?
en http://www.wetenschapsforum.nl/invision/in...c=8853&start=12 -> Die kon ik ook neit volgen.... )
Kan iemand mij alsjeblieft helpen? Ik ben bang dat het me anders een herkansingsmogelijkheid gaat kosten.
Dat is de volgende formule:
Ik heb al het een en ander op dit forum ervan gezien, maar dat snapte ik niet echt... (ik ben maar een simpel Havo-5'ertje....)
( http://www.wetenschapsforum.nl/invision/in...dpost&pid=88170 -> die ging over Matrix-berekeningen ofzo?
en http://www.wetenschapsforum.nl/invision/in...c=8853&start=12 -> Die kon ik ook neit volgen.... )
Kan iemand mij alsjeblieft helpen? Ik ben bang dat het me anders een herkansingsmogelijkheid gaat kosten.
- Berichten: 24.578
Re: Formule van Binet bewijzen
Je bent wel nogal laat als dat pws morgen ingeleverd moet worden...
In de eerste link die je gaf, staan links naar websites met bewijzen.
Zie ook deze link of de resultaten van deze zoekopdracht met google.
Misschien kan je zeggen welk (soort) bewijs je op het oog hebt en wat je er niet aan begrijpt?
In de eerste link die je gaf, staan links naar websites met bewijzen.
Zie ook deze link of de resultaten van deze zoekopdracht met google.
Misschien kan je zeggen welk (soort) bewijs je op het oog hebt en wat je er niet aan begrijpt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 203
Re: Formule van Binet bewijzen
Klopt inderdaad dat ik laat ben....
Het voorzetje dat onze leraar ons had gegeven was dit:
In ieder geval al bedankt voor het antwoord.
Het voorzetje dat onze leraar ons had gegeven was dit:
In ieder geval al bedankt voor het antwoord.
- Berichten: 24.578
Re: Formule van Binet bewijzen
Als ik de gedachtegang van je leraar wil volgen, zou ik zeggen: bekijk de termen in a en b nu apart in die vergelijking:
\(pa^{n + 2} = pa^{n + 1} + pa^n \Leftrightarrow pa^{n + 2} - pa^{n + 1} - pa^n = 0\)
Dus:\(pa^2 a^n - paa^n - pa^n = 0 \Leftrightarrow pa^n \left( {a^2 - a - 1} \right) = 0\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 203
Re: Formule van Binet bewijzen
Okay.... Volgens mij bedoelde hij dat inderdaad ja... bedankt!
Maar zo kan ik dus a berekenen, wat het getal Phi (
Maar als ik op dezelfde manier b wil berekenen, dan krijg ik daar toch weer Phi uit als antwoord? En geen Phi-1 (
Maar zo kan ik dus a berekenen, wat het getal Phi (
\( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
) wordt...Maar als ik op dezelfde manier b wil berekenen, dan krijg ik daar toch weer Phi uit als antwoord? En geen Phi-1 (
\( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
), wat het wel zo zou moeten zijn....- Berichten: 24.578
Re: Formule van Binet bewijzen
Heeft een kwadratische vergelijking (als de discriminant positief is...) niet twee oplossingen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 203
Re: Formule van Binet bewijzen
Ja dat klopt... Maar waarom moet ik voor a en voor b, de andere uitkomst van de kwadratische vergelijking nemen? ( dus)?
- Berichten: 24.578
Re: Formule van Binet bewijzen
In het begin heb je de twee onbekenden a en b genoemd, maar deze zijn natuurlijk onderling verwisselbaar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 203
Re: Formule van Binet bewijzen
Misschien komt het door het tijdstip, misschien doordat ik gewoon dom ben... Maar hoe kom ik dan aan p of q?
btw, ik heb nu alleen dit nog maar als uitleg... Maar die is dus nog niet af....
btw, ik heb nu alleen dit nog maar als uitleg... Maar die is dus nog niet af....
- Berichten: 24.578
Re: Formule van Binet bewijzen
Uit de voorwaarde u(0) = 0 heb je al dat p+q = 0.
Maar er is een tweede beginwaarde, namelijk u(1) = 1.
Daaruit volgt de voorwaarde:
Maar er is een tweede beginwaarde, namelijk u(1) = 1.
Daaruit volgt de voorwaarde:
\(u\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow p\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) + q\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right) = 1\)
Vervang q door -p en los op naar p, je vind 1/sqrt(5). Dan is q het tegengestelde."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 24.578
Re: Formule van Binet bewijzen
Dat komt omdat je (oorspronkelijke) formule fout is, er moet niet 5 maar [wortel]5 in de noemer.FlorianK schreef:Toch doe ik iets fout....
Edit: je hebt je berichtje blijkbaar verwijderd...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 203
Re: Formule van Binet bewijzen
Ik was achter mijn fout gekomen ja...
Nu heb ik dit als uitleg.
Ik heb hem nu bewezen dacht ik... Ik vraag me alleen nog af of mijn leraar niet een stukje tekst of uitleg mist, daar waar ik die bruine streep heb neergezet?
In ieder geval: Heel erg hartelijk bedankt!
Nu heb ik dit als uitleg.
Ik heb hem nu bewezen dacht ik... Ik vraag me alleen nog af of mijn leraar niet een stukje tekst of uitleg mist, daar waar ik die bruine streep heb neergezet?
In ieder geval: Heel erg hartelijk bedankt!
- Berichten: 24.578
Re: Formule van Binet bewijzen
Dat zou goed kunnen, maar ik weet niet wat je leraar in gedachte had voor de methode waarvan hij alleen de aanzet gaf...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Formule van Binet bewijzen
Het kan minder moeizaam door eerst aan te tonen (met volledige inductie) dat
Dan is
\(\phi_i^n = F_n \phi_i + F_{n-1}\)
Hierbij is \((F_n)\) het rijtje van Fibonacci en \(\phi_i = \phi_1 \mbox{ of } \phi_i=\phi_2\).\(\phi_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \mbox{ en } \phi_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
zijn de nulpunten van \(\phi^2 = 1 + \phi\).Dan is
\(\frac{\phi_1^n - \phi_2^n}{\phi_1 - \phi_2} = F_n\)
-
- Berichten: 94
Re: Formule van Binet bewijzen
Uit een werkstukje van mij van enkele jaren terug:
Vind alle mogelijke rijen die voldoen aan
Beschouw
na te gaan dat
basis van
lineair onafhankelijke rijen uit
Omdat
Dus de meetkundige rijen
besluiten dus dat
manier een expliciet voorschrift te vinden voor een
Fibonacci. Omdat
Het kan zijn dat je hier en daar een indexje moet aanpassen, maar het idee is volgens mij juist.
N.D.
Vind alle mogelijke rijen die voldoen aan
\((u_n)_{\nin\mathbb{N}}:u_{n+1}=u_n+u_{n-1}\)
. Wat heeft dit te maken met \(\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}\)
?Beschouw
\(V={(u_n)_{\nin\mathbb{N}}|u_{n+1}=u_n+u_{n-1}}\)
. Het is eenvoudigna te gaan dat
\(\mathbb{R},V,+\)
een vectorruimte is. Een eenvoudigebasis van
\(V\)
is\(\beta={(0,1,1,2,3,5,\ldots),(1,1,2,3,5,8,\ldots)}\)
. Met \(\beta\)
zelf zijn we niet bijster veel, maar we weten nu wel dat tweelineair onafhankelijke rijen uit
\(V\)
steeds een basis voor \(V\)
vormen. Stel nu \(r=\frac{1+\sqrt5}{2}\)
en \(s=\frac{1-\sqrt5}{2}\)
.Omdat
\(r\neq s\)
geldt dat de rijen\((a_n)_{\nin\mathbb{N}}=(1, r, r+1, \ldots)\)
\((b_n)_{\nin\mathbb{N}}=(1, s, s+1, \ldots)\)
een basis voor \(V\)
vormen. Uit het voorgaande weten we echter dat\(r^2=r+1\)
, \(r^3=r^2+r\)
, \(r^4=r^3+r^2\)
, enzovoort (analoog voor \(s\)
).Dus de meetkundige rijen
\((a_n)_{\nin\mathbb{N}}:a_n=r^n\)
en\((b_n)_{\nin\mathbb{N}}:b_n=s^n\)
vormen een basis voor \(V\)
. Webesluiten dus dat
\(\forall(u_n)_{\nin\mathbb{N}}\inV:\exists\lambda,\mu\in\mathbb{R}:\forall \nin\mathbb{N}:u_n=\lambdar^n+\mu s^n\)
Dit laat ons toe om op een gemakkelijkemanier een expliciet voorschrift te vinden voor een
\((u_n)_{\nin\mathbb{N}}\in V\)
. Kies bijvoorbeeld de rij vanFibonacci. Omdat
\(f_0=f_1=1\)
geeft de kwantorenuitspraak aanleiding tot het stelsel\(\left{ \begin{array}{\ll} \lambda+\mu=1\lambda r+\mu s=1\end{array} \right.\sim\left{ \begin{array}{\ll} \lambda=\frac{1-s}{r-s}=\frac{\sqrt5}{10}+\frac{1}{2}\mu=\frac{r-1}{r-s}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt5}{10}.\end{array} \right.\)
Dit strookt inderdaad met de formule van Binet.Het kan zijn dat je hier en daar een indexje moet aanpassen, maar het idee is volgens mij juist.
N.D.