Springen naar inhoud

Bewijs Gauss-eliminatie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Pongping

    Pongping


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 december 2006 - 09:23

Hallo,
Ik weet dat je bij het oplossen van stelsels drie operaties mag gebruiken:
E1: de i-de rij vermenigvuldigen met een constante verschillend van nul
E2: i-de rij ---> i-de rij + (j-de rij)*constante
E3: twee rijen omwisselen

Nu snap ik het bewijs niet van deze operaties. De E1 en E3 lijken evident dat dat mag maar E2 vind ik minder vanzelfsprekend. Kan iemand mij helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 december 2006 - 09:50

Elke oplossing moet voldoen aan elke vergelijking.

Laat me twee vergelijkingen in de onbekenden x en y voorstellen door A(x,y) en B(x,y).
Als een oplossing (x*,y*) voldoet aan A (dus A(x*,y*) = 0) en aan B (idem), dan is is
p.A(x,y)+q.B(x,y) een lineaire combinatie.

Deze heeft ook (x*,y*) als oplossing, want daarvoor geldt: p.A(x*,y*)+q.B(x*,y*) = p.0+q.0 = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 december 2006 - 09:56

Een écht bewijs kan ik je niet geven, maar wel een redenering:

Je weet dat in een stelsel alle onbekenden dezelfde waarde aannemen voor een bepaalde oplossing. Net zoals bij één enkele vergelijking, mag je beide leden vermenigvuldigen met een getal. dat verandert namelijk het aantal oplossing en die oplossingen zelf niet. Daarnaast mag je beide leden ook optellen met een bepaald getal:

ax +by +c = g <==> ax + by + c + 10 = g + 10

Wanneer je dus de E2 toepast, gebruik je een combinatie van de bovenstaande twee operaties.


Een voorbeeld:

ax + b = c
gx + d = e

Doe nu R2-2*R1, dat geeft: gx + d - (2ax + 2b) = e - 2c

Nu zie je tussen haakjes net hetzelfde staan als 2c, want ax+b=c , dus 2ax+2b=2c.

Je kan dus zeggen:
gx + d - 2c = e - 2c



Misschien is het nu iets duidelijker?

Groeten,
Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#4

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 december 2006 - 10:16

Ik ontcijfer uit mijn nota's iets in de aard van:
Een stelsel met als i-de en j-de vergelijking:
LaTeX
Passen we dan "E2" toe met een willekeurige LaTeX
LaTeX
Stel nu dat LaTeX een oplossing is voor vergelijking 1.
LaTeX
Tellen we vergelijking 1 en 2 bij elkaar op.
LaTeX
En daaruit volgt dat LaTeX ook een oplossing is voor vergelijking 2.

#5

Pongping

    Pongping


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 december 2006 - 12:38

Wat bedoel je met vergelijking 1 en 2?

#6

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 december 2006 - 12:42

De eerste regel van het stelsel is vgl 1, en de tweede vgl 2 :).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures