[Natuurkunde] Galileitransformatie

Weaver

Hallo,

Ik heb een probleem met de galilei-transformatie in het volgende vraagstuk:

Een tennisbal heeft een beginsnelheid Vb en wordt door een racket teruggeslagen. De racket heeft snelheid Vo en de eindsnelheid van de bal is Ve.

Vanuit de toeschouwer gezien, inertiaalstelsel S, zijn Ve en Vo negatief, omdat ze dus teruggaan.

Het inertiaalstelsel S' beweegt met het racket mee.

Er geldt dus:

x' = x - Vo t (waarbij Vo negatief is)

Vb' = Vb + Vo

Ve' = Ve + Vo (waarbij Ve negatief is)

Het probleem ligt bij de berekening van Ve' (dus de Ve zoals gezien vanuit S'). Als ik bijvoorbeeld de snelheid van het racket (Vo) 8 m/s laat zijn, en de eindsnelheid van de bal (Ve) 10 m/s (los van of dit kan), dan krijg ik:

Ve' = -10 + 8 = -2 m/s

----------------------------------------

----------------------------------------

Vraag is deze: Ik snap dat vanuit de toeschouwer, stelsel S, gezien deze snelheid negatief is omdat de bal in de negatieve richting van de x-as van S gaat. Vanzelfsprekend ook is dat de relatieve snelheid tussen de bal en het racket 2 m/s is. Maar waarom dat minteken? Het gaat hier toch niet om wat de toeschouwer meet, maar wat het inertiaalstelsel S' meet voor Ve? En S' beweegt in wat voor hem richting zijn eigen positieve x-as is. De bal doet hetzelfde en is S' zelfs vooruit in die richting. Alles in mij zegt daarom dat S' gewoon 2 m/s moet meten voor Ve'.

Waar redeneer ik fout?

Jan van de Velde

Moet je natuurlijk niet je inertiaalstelstel een (8 m/s)snelheid geven, en dan ook nog eens je snelheden geven t.o.v. andere inertiaalstelsels (die 10 m/s).

Het inertiaalstelsel S' beweegt met het racket mee.

Het probleem ligt bij de berekening van Ve' (dus de Ve zoals gezien vanuit S').

Als ik bijvoorbeeld de eindsnelheid van de bal (Ve) 10 m/s (laat zijn)

dan moet die 10 m/s toch gewoon t.o.v. het racket zijn, of wat definieer je nu mis. bedoel je die 10 m/s toch weer vanuit die toeschouwer? want dan is de 10 m/s gewoon negatief zoals je eerst zei, de 8 m/s van inertiaalstelsel racket óók negatief t.o.v. de toeschouwer, en aangezien je wil bepalen hoe veel sneller je bal beweegt dan de racket t.o.v. de toeschouwer :

-10 -(-8)=-2m/s

En hou in de gaten dat dat hele plussen en minnenverhaal hier een kwestie van richtingen is...

Weaver

Hey Jan, bedankt voor je reactie.

bedoel je die 10 m/s toch weer vanuit die toeschouwer? want dan is de 10 m/s gewoon negatief zoals je eerst zei, de 8 m/s van inertiaalstelsel racket óók negatief t.o.v. de toeschouwer, en aangezien je wil bepalen hoe veel sneller je bal beweegt dan de racket t.o.v. de toeschouwer :

-10 -(-8)=-2m/s

Klopt wat je zegt, vanuit de toeschouwer gezien is het inderdaad allemaal negatief. En volgens de toeschouwer zijn die snelheden 10 en 8 m/s. In de opgave vroegen ze wat inertiaalstelsel racket meet voor Ve en Vb van de bal. Dus Ve' en Vb'. In dat geval vind ik die -2 vreemd, want die geeft de richting aan zoals die geldt in het stelsel van de toeschouwer. Immers, de bal gaat richting de negatieve x-as van de toeschouwer. Maar het racket is natuurlijk ook een inertiaalstelsel met een bepaalde snelheid, namelijk Vo, en die heeft zijn positieve x-as in de tegenovergestelde richting van de toeschouwer. Want het racket beweegt, vanuit zichzelf gezien, vooruit. Omdat Ve' de snelheid is van de bal zoals het racket die meet, moet de richting volgens mij ook slaan op het inertiaalstelsel van het racket, en niet op die van de toeschouwer.

Zo denk ik dan, maar blijkbaar ga ik ergens in zo'n redenering de fout in.

Jan van de Velde

Ik denk dat, voordat we hier zinnig aan verder gaan, we eigenlijk die letterlijke tekst maar eens moesten hebben hier, in plaats van jouw (met alle respect) mogelijk gebrekkige interpretatie.

Weaver

De opdracht : (Syllabus Speciale relativiteitstheorie UvA) 1.3 Tennissen:

Een tennisbal krijgt van een bewegend tennisracket een extra snelheid mee. Vb, Ve en Vo zijn respectievelijk de begin- en eindsnelheid van de bal en de snelheid van het racket in het coördinatenstelsel S van een toeschouwer. S' is het coördinatenstelsel dat met het racket mee beweegt.

a) Wat zijn de begin- en eindsnelheid van de bal in het coördinatenstelsel S'?

Het antwoord hierop luidt:

Neem de positieve x-as van stelsel S van de toeschouwer in de richting van de beginsnelheid van de bal. De galileitransformatie van stelsel S naar stelsel S' van het racket is dan:

x' = x - vt

y' = y

De snelheid van het racket (stelsel S' ) tov de toeschouwer is -Vo, dus v= -Vo. De x-component van een snelheid transformeert dus van S naar S' volgens:

V'x = Vx + Vo

De beginsnelheid van de bal in S' is V'b = Vb + Vo

De eindsnelheid vna de bal in S' is V'e = Ve + Vo

Jan van de Velde

Hier zie ik niet waar je die 10 resp. 8 m/s vandaan hebt, want ik zie nergens getalletjes, maar vooruit.

Als ik dit goed begrijp:

x' = x - vt

y' = y

betekent dat dat x-as en y-as van beide stelsels in elk geval dezelfde richtingen hebben. Dus wat in het ene stelsel een positieve richting is, is dat in het andere dan ook.

Neem de positieve x-as van stelsel S van de toeschouwer in de richting van de beginsnelheid van de bal.

Hier mag je blijkbaar zélf bepalen wat nou eigenlijk positief of negatief is, en voor dit antwoord wordt als uitgangspunt het bovenstaande gekozen.

Een tennisbal krijgt van een bewegend tennisracket een extra snelheid mee.

Dit suggereert dat álles in dezelfde richting beweegt. De bal heeft een beginsnelheid Ve in S, een eindsnelheid Ve in S, en de racket heeft een snelheid Vo in S, een een snelheid 0 in S'. Dit echter

De snelheid van het racket (stelsel S' ) tov de toeschouwer is -Vo, dus v= -Vo.

lijkt hiermee in tegenspraak.

om een getallenvoorbeeld te pakken, zoals ik het zie:

In S: begin +4 m/s, racket +7 m/s, want alles beweegt in dezelfde richting.

Dat betekent in S': vanuit de toeschouwer gezien beweegt het (0,0) punt van S' langs achter naar de bal toe, vanuit dat (0,0) van S' gezien beweegt de bal echter naar dat (0,0) punt toe, begin dus+4-(+7)= -3 m/s. Als we even een volledig elastische botsing mogen veronderstellen, zal de bal dus even hard weer van de racket wegstuiteren, maar dat betekent in S' dus ook weer in positieve richting, ofwel +3 m/s in S'.

De eindsnelheid van de bal in S' is +3 m/s, de eindsnelheid van de bal in S is dan (+7)+(+3)= 10 m/s.

als de racketsnelheid gezien in S negatief is(tegenspraakgeval), bijv -7 m/s, dan nadert de bal S'(0,0) met een snelheid van +4-(-7)= +11 m/s. Elastisch verondersteld keert de balrichting om, en heeft dezelfde snelheidsgrootte in S' als vóór die botsing. In S' dus -11 m/s, dwz in S (-7)+(-11)= -18 m/s.

Dit laatste klopt zo te zien met je formules aan het eind.

verwarrend gestelde vraag dus.

Weaver

Bedankt voor je uitleg, Jan.

Hier zie ik niet waar je die 10 resp. 8 m/s vandaan hebt, want ik zie nergens getalletjes, maar vooruit.

Die waarden heb ik zelf even bedacht , waarschijnlijk om dezelfde reden als jij verderop in je posting doet.

Een tennisbal krijgt van een bewegend tennisracket een extra snelheid mee.

Dat woordje extra kon ik hier ook niet plaatsen.

x' = x - vt

y' = y

betekent dat dat x-as en y-as van beide stelsels in elk geval dezelfde richtingen hebben. Dus wat in het ene stelsel een positieve richting is, is dat in het andere dan ook.

Ook dit is inderdaad tegendraads. Voor de snelheidsberekeningen heeft het voor zo ver ik kan zien geen gevolgen, omdat ze vanuit S de snelheid van het racket negatief laten zijn.

als de racketsnelheid gezien in S negatief is(tegenspraakgeval), bijv -7 m/s, dan nadert de bal S'(0,0) met een snelheid van +4-(-7)= +11 m/s. Elastisch verondersteld keert de balrichting om, en heeft dezelfde snelheidsgrootte in S' als vóór die botsing. In S' dus -11 m/s, dwz in S (-7)+(-11)= -18 m/s.

Dit begrijp ik niet. Is het niet zo dat bij een elastische botsing de beginsnelheid van de bal en de eindsnelheid van de bal in S aan elkaar gelijk zijn? S' meet immers door zijn snelheid een hogere beginsnelheid en een lagere eindsnelheid.

In dat geval kom ik tot:

Ve = -4 (immers, de bal gaat weer terug naar 0,0)

Ve' = -4 -- 7 = 3

Mocht dit zo zijn, dan zit ik nog steeds met het volgende probleem, dat ik het beste duidelijk kan maken met een kort voorbeeldje:

De toeschouwer S ziet hoe twee auto's naar hem toe komen rijden, dus in de richting van zijn negatieve x-as. Voor auto A meet hij een snelheid van -20 m/s. Voor auto B, tevens stelsel S', meet hij een snelheid van -15 m/s. Auto A ligt voor en is het dichtste bij de toeschouwer.

Auto B is stelsel S'. Ik vraag me af wat B nu meet voor de snelheid van A.

Zelf denk ik dan dat alles hier gaat om het gezichtspunt van B. B rijdt voor hemzelf in positieve richting, A rijdt voor hem uit en dus ook positief en dus kan de relatieve snelheid van A, vanuit B gezien, niet anders dan positief zijn. Omdat toeschouwer S in beide gevallen een negatieve richting noteert, komt uit de berekening een negatieve relatieve snelheid.

Va' = -Va -- Vb

Va' = -20 + 15 = -5

En dat snap ik dus niet. Waarom is de snelheid van A, vanuit B gezien, dus ook met de richtingen die voor B gelden, negatief?

Jan van de Velde

Pas op, voor zichzelf rijdt B niet in positieve richting, voor zichzelf staat B stil.

Als je, dat goed beseffende , het dan nog niet snapt, dan kan ik het je verder niet in woorden duidelijk maken. Ik stel voor dat je een ruitjesblad pakt, daar een assenstelsel op tekent dat je S noemt. Dat is het stelsel van de toeschouwer.

Teken nou eens in S voor vier opeenvolgende tijdstippen de posities van je auto's in, A1 en B1voor tijdstip 1, en vervolgens A2 en B2 voor tijdstip 2, etc. .

Dan neem je een overtrekpapiertje en tekent daar precies zo'n assenstelsel op, dat je S' noemt. De oorsprong leg je op de positie B1 in S. Trek positie van A1 uit S over op S' . Schuif S' op naar B2 op stelsel S. Trek positie van A2 uit S over op S'. Etc. (en voor mijn part ook die toeschouwer, je bent nou toch bezig.)

Ik hoop dat je dan de schillen van de ogen vallen [rr]

Weaver

Hoi Jan,

Ik heb nog eens nagedacht en ik ging inderdaad van een verkeerde veronderstelling uit. Zoals blijkt uit je voorbeeld, geldt alleen het assenstelsel van S. En dan klopt alles

Thx!

Jan van de Velde

PS :

Weaver

Jan van de Velde schreef:

PS :

yup

Ben nog even die scroll op de betreffende link aan het doornemen. M'n PC is inmiddels al 6 jaar oud en is al langzaam wanneer er enigzins fatsoenlijk wordt gedownload.

Maar... I'll take it into consideration

Jan van de Velde

Weaver schreef:

yup

Ben nog even die scroll op de betreffende link aan het doornemen. M'n PC is inmiddels al 6 jaar oud en is al langzaam wanneer er enigzins fatsoenlijk wordt gedownload.

Bedankt voor de overweging....

GHz? RAM? Besturingssysteem? Gemiddeld aantal onderbelaste uren per week? Als we dat weten kunnen we denk ik wel een redelijke schatting maken van het potentiële nut. Want inderdaad, vouwen zonder redelijk je deadlines te halen is zinloos.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Natuurkunde] Galileitransformatie

[Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie

Re: [Natuurkunde] Galileitransformatie