[Wiskunde] Limiet

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

[Wiskunde] Limiet

\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

\(\lim_{(x,y) \rightarrow (x,0)} \frac{0}{x}=0 \)
\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,y)} \frac{0}{y}=0 \)


maar hoe bewijs ik dat het ook echt 0 is?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [Wiskunde] Limiet

ik dacht aan:
\( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
is kleiner of gelijk aan 1

dus
\(0 =<\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=<y \)
\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \)
dus y wordt dan 0 dus limiet is 0.

goed genoeg?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Wiskunde] Limiet

Indien x en y verschillen van teken, is je functie negatief. Je schat best de absolute waarde af:
\(\left| {\frac{{xy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }}} \right| = \left| {\frac{{xy}}{{\sqrt {x^2 \left( {1 + \left( {\frac{y}{x}} \right)^2 } \right)} }}} \right| = \left| {\frac{y}{{\sqrt {1 + \left( {\frac{y}{x}} \right)^2 } }}} \right| le \left| y \right| \to 0\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [Wiskunde] Limiet

\(\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2 \sin^2y}{x^2+2y^2}\)

\( \frac{\sin^2 y}{1+2 ({\frac{y}{x}})^2}\)
\(\right| le \left \sin^2 y \)
\(\Rightarrow 0\)
dit kan zonder absolute streepjes? [rr]

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [Wiskunde] Limiet

Nu wel, vanwege de kwadraten die allemaal positief zijn. De afschatting ziet er oké uit.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer