Springen naar inhoud

[wiskunde] rang en dimensie N van matrix


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 20 december 2006 - 20:54

Hoe bereken je rang(A) en dim N(A) van:
LaTeX
Ik weet wel dat rang A := dim Col(A) en LaTeX en dat LaTeX de verzameling is van alle lineaire combinaties van de kolommen van A. Maar hoe je nu precies dat bepaalt is me beetje onduidelijk.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2006 - 20:58

Je kan de matrix reduceren naar rij-echelon vorm, tel dan het aantal niet-nulle rijen.
Je kan ook minoren gaan berekenen, de maximale dimensie die niet 0 is, is de rang.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

gast004

    gast004


  • >250 berichten
  • 314 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 december 2006 - 21:09

Om de rang van een matrix te weten, moet je enkele rijen en/of kolommen schrappen zodat je een vierkante matrix bekomt. De rang van de matrix is gelijk aan het aantal rijen/kolommen van de grootst mogelijke vierkante matrix (die je uit de gegeven matrix kan vormen) waarvan de determinant niet 0 is. De rang kan nooit groter zijn dan het aantal rijen/kolommen van de gegeven matrix (dus waarvan je de rang moet bepalen).
De rang van de volgende matrix is gelijk aan 2:
1 2 3
2 4 5
Van de volgende matrix is de rang=0:
0 0 0
0 0 0
en van deze is de rang =1:
1 2 3
2 4 6

Ik weet niet wat of je er iets mee bent.
Dimensie ken ik niet.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2006 - 21:14

Bovendien geldt, voor een (m,n)-matrix: dim(Im(A)) + dim(N(A)) = n, daaruit haal je bvb dim(N(A)) als je de rang hebt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 20 december 2006 - 22:18

Als je de laatste kolom schrapt, houd je een 4x4 matrix over, waarvan de determinant niet 0 is, dus rang A = 4?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2006 - 22:20

Die determinant is volgens mij wel 0, ik bekom rang gelijk aan 3.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

gast004

    gast004


  • >250 berichten
  • 314 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 december 2006 - 22:46

ja, ik ook.
zou iemand mij nog kunnen uitleggen wat dimensie juist is?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 december 2006 - 23:27

Heb je al wat lineaire algebra gehad, iets over vectorruimten, gehoord van een basis?

Zie het eerst eenvoudig meetkundig: een punt (0D), een rechte (1D), een vlak (2D), de ruimte (3D).
Dit kan je veralgemenen naar ruimten van n dimensies, voor zo'n ruimte heb je n basisvectoren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

gast004

    gast004


  • >250 berichten
  • 314 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 december 2006 - 23:50

euhm, ja, in een vectorruimte gelden bepaalde eigenschappen (zoals associativiteit, commutativiteit, neutraal element e.d.). Als elke vector geschreven kan worden in functie van een bepaald aantal lineair onafhankelijke vectoren, dan zijn die lineair onafhankelijke vectoren een basis en de dimensie is het aantal lineair onafhankelijke vectoren. Maar van dimensies bij matrices heb ik nog nooit gehoord. Ah, toch wel, in informatica, toen we over array-variabelen leerden, nl. dat je een array-variabele met 2 dimensies kunt voorstellen als een matrix, een array-variabele met 3 dimensies als een Rubik's Cube en dat je in VBA tot 60 verschillende dimensies kunt hebben. Maar heeft iedere matrix dan dimensie 2? Of iedere matrix uitgezonderd de kolommatrices en de rijmatrices? (als je dan niet kijkt naar eventuele 0-rijen?)

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2006 - 08:04

Dat is misschien een beetje verwarrend, maar in die context doelen ze volgens mij op op grootte van de matrix, (m,n) in het algemeen.
Maar, de dimensie waar Eliminator het over had is effectief de dimensie van de kolomruimte, dim(Col(A)).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

gast004

    gast004


  • >250 berichten
  • 314 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 december 2006 - 11:46

de dimensie van de kolomruimte? ik ben nog niet helemaal mee, vrees ik.
Wat zou dan bijvoorbeeld de dimensie zijn van de volgende matrix?
1 2 3
2 4 5

#12

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 december 2006 - 12:18

Wat zou dan bijvoorbeeld de dimensie zijn van de volgende matrix?
1  2  3
2  4  5


Dat hangt er dan weer vanaf wat je bedoelt:
-De dimensie van de kolomruimte is 2 omdat je twee onafhankelijke kolomvectoren hebt (ook wel de rang van de matrix genoemd).
-De "dimensie van de matrix" is 2 rijen bij 3 kolommen.
-Het is ook een 2-dimensionale array (in informatica taal dus).

#13

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 21 december 2006 - 18:32

Ik begrijp nog steeds niet hoe je dan de rang kunt uitrekenen. Kan iemand mij op weg helpen?

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2006 - 18:49

Van jouw opgave? Je was goed begonnen, alleen heb je je misrekend bij die determinant (die wel 0 is).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

*_gast_Eliminator_*

  • Gast

Geplaatst op 21 december 2006 - 19:29

Maar dat duurt toch heel lang voordat je een zo groot mogelijke nxn matrix tegenkomt waar de determinant niet nul van is? Ik dacht toen net, misschien kun je matrix A met een vector x vermenigvuldigen waar een 0 vector uitkomt en dan x1 t/m x5 oplossen. Daar komt uit:
x2 = x4 - x3
x3 = 3x1
x4 = 3x1
x5 = 10 x1
Maar hoe nu verder?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures