[wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

[wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Hoe bereken je rang(A) en dim N(A) van:
\(A = \left( \begin{array}{ccc\cc}1 & 0 & 1 & 2 & 1 4 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 & -1 & 0 5 & -1 & 1 & 4 & 2 \end{array} \right)\)
Ik weet wel dat rang A := dim Col(A) en
\(\Im f_A = Col(A)\)
en dat
\(\Im f_A\)
de verzameling is van alle lineaire combinaties van de kolommen van A. Maar hoe je nu precies dat bepaalt is me beetje onduidelijk.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Je kan de matrix reduceren naar rij-echelon vorm, tel dan het aantal niet-nulle rijen.

Je kan ook minoren gaan berekenen, de maximale dimensie die niet 0 is, is de rang.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 314

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Om de rang van een matrix te weten, moet je enkele rijen en/of kolommen schrappen zodat je een vierkante matrix bekomt. De rang van de matrix is gelijk aan het aantal rijen/kolommen van de grootst mogelijke vierkante matrix (die je uit de gegeven matrix kan vormen) waarvan de determinant niet 0 is. De rang kan nooit groter zijn dan het aantal rijen/kolommen van de gegeven matrix (dus waarvan je de rang moet bepalen).

De rang van de volgende matrix is gelijk aan 2:

1 2 3

2 4 5

Van de volgende matrix is de rang=0:

0 0 0

0 0 0

en van deze is de rang =1:

1 2 3

2 4 6

Ik weet niet wat of je er iets mee bent.

Dimensie ken ik niet.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Bovendien geldt, voor een (m,n)-matrix: dim(Im(A)) + dim(N(A)) = n, daaruit haal je bvb dim(N(A)) als je de rang hebt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Als je de laatste kolom schrapt, houd je een 4x4 matrix over, waarvan de determinant niet 0 is, dus rang A = 4?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Die determinant is volgens mij wel 0, ik bekom rang gelijk aan 3.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 314

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

ja, ik ook.

zou iemand mij nog kunnen uitleggen wat dimensie juist is?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Heb je al wat lineaire algebra gehad, iets over vectorruimten, gehoord van een basis?

Zie het eerst eenvoudig meetkundig: een punt (0D), een rechte (1D), een vlak (2D), de ruimte (3D).

Dit kan je veralgemenen naar ruimten van n dimensies, voor zo'n ruimte heb je n basisvectoren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 314

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

euhm, ja, in een vectorruimte gelden bepaalde eigenschappen (zoals associativiteit, commutativiteit, neutraal element e.d.). Als elke vector geschreven kan worden in functie van een bepaald aantal lineair onafhankelijke vectoren, dan zijn die lineair onafhankelijke vectoren een basis en de dimensie is het aantal lineair onafhankelijke vectoren. Maar van dimensies bij matrices heb ik nog nooit gehoord. Ah, toch wel, in informatica, toen we over array-variabelen leerden, nl. dat je een array-variabele met 2 dimensies kunt voorstellen als een matrix, een array-variabele met 3 dimensies als een Rubik's Cube en dat je in VBA tot 60 verschillende dimensies kunt hebben. Maar heeft iedere matrix dan dimensie 2? Of iedere matrix uitgezonderd de kolommatrices en de rijmatrices? (als je dan niet kijkt naar eventuele 0-rijen?)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Dat is misschien een beetje verwarrend, maar in die context doelen ze volgens mij op op grootte van de matrix, (m,n) in het algemeen.

Maar, de dimensie waar Eliminator het over had is effectief de dimensie van de kolomruimte, dim(Col(A)).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 314

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

de dimensie van de kolomruimte? ik ben nog niet helemaal mee, vrees ik.

Wat zou dan bijvoorbeeld de dimensie zijn van de volgende matrix?

1 2 3

2 4 5

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

ev!tje schreef:Wat zou dan bijvoorbeeld de dimensie zijn van de volgende matrix?

1  2  3

2  4  5


Dat hangt er dan weer vanaf wat je bedoelt:

-De dimensie van de kolomruimte is 2 omdat je twee onafhankelijke kolomvectoren hebt (ook wel de rang van de matrix genoemd).

-De "dimensie van de matrix" is 2 rijen bij 3 kolommen.

-Het is ook een 2-dimensionale array (in informatica taal dus).

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Ik begrijp nog steeds niet hoe je dan de rang kunt uitrekenen. Kan iemand mij op weg helpen?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Van jouw opgave? Je was goed begonnen, alleen heb je je misrekend bij die determinant (die wel 0 is).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: [wiskunde] rang en dimensie N van matrix

Maar dat duurt toch heel lang voordat je een zo groot mogelijke nxn matrix tegenkomt waar de determinant niet nul van is? Ik dacht toen net, misschien kun je matrix A met een vector x vermenigvuldigen waar een 0 vector uitkomt en dan x1 t/m x5 oplossen. Daar komt uit:

x2 = x4 - x3

x3 = 3x1

x4 = 3x1

x5 = 10 x1

Maar hoe nu verder?

Reageer