Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 20-12-'06, 22:44

Poelie

Berichten: 3

Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

Ik ben al een tijdje bezig om het verband tussen de koorde, de cirkelboog en de hoogte van een cirkelsegment uit te drukken in één formule.

Ik loop hier eigenlijk een beetje in vast en hoop dat iemand mij via dit forum verder kan helpen.

Op deze site (punt 1 en 2) heb ik de volgende info kunnen vinden:

Afbeelding

Waar het dus om gaat, is dat het een formule wordt waarbij 'k' uitgedrukt wordt in 'h' en 's' (h en s zijn alleen bekend).

Ik weet dat de helft van de cirkelboog gelijk moet zijn aan de middelpuntshoek, maar hoe druk je dit uit als de straal van de cirkelboog niet bekend is?

Het zal waarschijnlijk wel iets heel onbenulligs zijn, maar ik zie de oplossing even niet.
Omhoog

Bericht 20-12-'06, 22:46

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

Waarschijnlijk heb je wel iets aan deze pagina.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 20-12-'06, 22:50

Poelie

Berichten: 3

Re: Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

Waarschijnlijk heb je wel iets aan deze pagina.


Die site heb ik ook al bekeken, maar daar kom ik ook niet verder mee.

In ieder geval bedankt voor je snelle reactie.
Omhoog

Bericht 22-12-'06, 11:30

Poelie

Berichten: 3

Re: Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

Is er dan niemand die in deze donkere dagen nog een helder moment heeft? [rr]
Omhoog

Bericht 23-12-'06, 20:17

phi hung

Gebruikersavatar
Berichten: 284

Re: Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

\(s=r\cdot\theta\)

\(\tan\left({\frac{\theta}{4}\right) = \frac{2h}{k}\)
\(\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{k}{2(r-h)}\)


+ Pythagoras .......
Omhoog

Bericht 25-12-'06, 00:17

phi hung

Gebruikersavatar
Berichten: 284

Re: Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

x is de helft van \(\theta\)
\(x \equiv \frac{\theta}{2} = 2\arctan\left(\frac{2h}{k}\right)\)


In de eenheidscirkel gelden dezelfde verhoudingen
\(k \sim 2\sin x\)
\(h \sim 1-\cos x\)
\(s \sim 2x\)
Afbeelding
\(\frac{2h}{s} = \frac{1-\cos x}{x}\)

\(\frac{k}{s} = \frac{\sin x}{x}\)


Twee formules waarbij s is uitgedrukt in h en k
\(s = \frac{2hx}{1-\cos x}\)
\(=\frac{4h\cdot \arctan\left(\frac{2h}{k}\right)}{1-\cos \left(2\arctan\left(\frac{2h}{k}\right)\right)}\)
\(=\frac{2h\cdot \arctan\left(\frac{2h}{k}\right)}{\sin^2\left(\arctan\left(\frac{2h}{k}\right)\right)}\)

\(s = \frac{kx}{\sin x}=\frac{2k\cdot \arctan\left(\frac{2h}{k}\right)}{\sin \left(2\arctan\left(\frac{2h}{k}\right)\right)\right)}\)


Formule waarbij k wordt uitgedrukt in h en s

Definieer de functie \(m(x)\):
\(m(x) = \frac{1-\cos x}{x}\)
, we gebruiken de inverse functie:
\(x = m^{-1}\left(\frac{2h}{s}\right)\)


De formule wordt dan:
\(k = \frac{s\cdots\in x}{x}\)
\(=\frac{s\cdots\in\left(m^{-1}\left(\frac{2h}{s}\right)\right)}{m^{-1}\left(\frac{2h}{s}\right)}\)
Omhoog

Bericht 07-06-'19, 12:45

mluijben

Berichten: 2

Re: Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

Dit is al een oudere vraag, zijn jullie nog actief?
Ik zoek iets wat er heel veel op lijkt maar toch net anders is.
Namelijk een formule om de straal van een cirkel te berekenen wanneer de lengte van het boogsegment en de lengte van de koorde bekend zijn.
Daarmee ligt de straal volgens mij vast en moet deze dus met een formule te berekenen zijn, maar mn wiskunde is wat roestig.
Wie helpt mij hieruit?
Omhoog

Bericht 12-06-'19, 08:28

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

Dat is een lastiger probleem dan het er uitziet.

Laat de cirkelboog AB 2b lang zijn.
Laat de koorde AB 2k lang zijn.
Laat M middelpunt van de cirkel.
Trek AM en BM
Laat C midden boog AB.
Trek MC.
Laat R de straal van de cirkel zijn.
Laat hoek CMB=α (in radialen)

Er geldt nu dat:
1.) α=b/R
2.) sin α = k/R

Gecombineerd geeft dit: sin (b/R) = k/R , waarbij b en k bekend zijn.

Dit is echter geen vergelijking die met middelschool methoden kan worden opgelost.
Zover ik weet kan het slechts numeriek bv met reeksen.
Omhoog

Bericht 02-08-'19, 22:50

jadatis

Gebruikersavatar
Berichten: 400

Re: Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

Dacht ooit formule gemaakt te hebben om radius van circelsegment te berekenen, maar bleek al te bestaan.
Ging even fout met de link, maar voeg ik later toe.
Maar dan heb je de straal, en met de halve koordlengte, is dat dus de sinus van de hoek, en reken die hoek in radialen , en dan heb je de verhouding die je zoekt.
Want 1 radiaal is de straal op de omtrek van de cirkel uitgezet.
viewtopic.php?f=4&t=182681
Omhoog

Bericht 02-08-'19, 23:08

jadatis

Gebruikersavatar
Berichten: 400

Re: Verband cirkelboog, koorde en hoogte van een cirkelsegment

Zie nu ook dat dit een oude vraag is mluijben.
Maar je kunt dus ook terugrekenen .
Boogsegment en halve koorde zijn dan bekend, alleen de diepte van het segment niet, en die heb je toch nodig, denk ik.
Ga er een nachtje over slapen.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”