Springen naar inhoud

SR: tijddilatatie: paradox oplossen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2006 - 13:24

Velen onder ons hebben al ervaren dat sommige zaken in SR op het eerste zicht een paradox schijnen, maar dat enig elegant denkwerk oplossing biedt. De volgende is er 1 waar ikzelf niet uit geraak, het lijkt me op zijn minst een leuke doordenker. Voor alle duidelijkheid: je kan wel degelijk SR doen in niet-inertiaalstelsels. Dat de wetten niet covariant zijn tov zulke transformaties wil niet zeggen dat SR hierop niet mag worden toegepast.

Waarnemer A en B bewegen met gelijke snelheid, maar in tegengestelde zin in een cirkelbaan (ze lopen bijvoorbeeld aan relativistische snelheid rondjes rond het park). Waarnemer A ziet de klok van waarnemer B steeds trager lopen dan de zijne. Hij merkt dus dat wanneer ze elkaar passeren dat de klok van waarnemer B steeds meer en meer achterloopt op de zijne. Je kan dit narekenen, en dit klopt (uiteraard). Waarnemer B kan vanuit symmetrie echter krak dezelfde bewering doen. Hij zegt: telkens we mekaar passeren loopt de klok van B meer en meer achter op de mijne. Beide uitspraken spreken mekaar tegen, dus ze kunnen niet beiden waar zijn. Vermits op 1 punt tijd absoluut is, zijn ze het wel degelijk eens over het tijdstip van meten: A meet in het stelsel van B op hetzelfde tijdstip als B.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Sybke

    Sybke


  • >250 berichten
  • 599 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 december 2006 - 13:37

A kan niet volgens de welbekende formule...

Geplaatste afbeelding
...de tijd van B berekenen omdat A geen inertiaalstelsel is (draait rondjes), en omgekeert geldt dat ook voor B.

#3

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2006 - 13:44

LaTeX kan worden omgezet naar het stelsel van de waarnemer A. de beweging van B hierin resulteert in de eigentijd van B correct berekend vanuit A.

Bovendien kan hij dat wel: je kan de beweging van A zien als aaneenrijging van inertiaalstelsels. je zal dan alleen moeten integreren.

#4

Sybke

    Sybke


  • >250 berichten
  • 599 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 december 2006 - 14:00

Succes met integreren dan, en zie wat het resultaat is.

#5

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2006 - 14:31

[rr] dat is net het probleem. ze zijn het niet eens.

#6

Sybke

    Sybke


  • >250 berichten
  • 599 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 december 2006 - 16:41

Ik heb wat berekend en kom op het volgende...

Geplaatste afbeelding

B is de baansnelheid van A of B, R de straal van de cirkelbaan in lichtseconden, delta t het tijdsverschil tussen A en B volgens A of B en thèta de hoek die afgelegd is van de cirkelbaan.

Stel dat bovenstaande grafiek bij B hoort, dan zie je dat het tijdsverschil eerst negatief wordt, dat wil zeggen dat A achter gaat lopen op B. Maar na een kwart van de cirkel te hebben afgelegd is het tijdsverschil weer 0 geworden en staan de klokken gelijk. Het zelfde geldt voor een halve, 3/4, hele, 5/4 enz. cirkel.

#7

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2006 - 18:54

moest ik dat ook uitkomen zou mijn gemoedsrust inderdaad geholpen worden. [rr]

echter, ik bekom een gammafactor
LaTeX

deze is steeds groter dan 1 (wat trouwens algemeen moet gelden), dus integreren volgens
LaTeX
waarbij LaTeX de eigentijd van deeltje B, t de tijd die A toekent aan de gebeurtenissen.
Als je een andere gammafactor uitkomt wil ik graag de structuur van mijn afleiding geven, maar kleiner dan 1 zal hij toch nooit mogen zijn.

#8

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 december 2006 - 20:48

Heb je er rekening mee gehouden dat A een versnelling voelt en zich in feite dus in een zwaartekrachtsveld bevindt? Hierdoor merkt A ook een relativistisch effect op zijn eigen horloge.

(Misschien maakt dit verder niks uit hoor, ik noem maar wat. Heb geen zin om het allemaal na te rekenen :wink: veel succes!)
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#9

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2006 - 21:48

Waarnemer A en B bewegen met gelijke snelheid, maar in tegengestelde zin in een cirkelbaan (ze lopen bijvoorbeeld aan relativistische snelheid rondjes rond het park).

De 'gelijke snelheid' is dus ten opzichte van het park.

Waarnemer A ziet de klok van waarnemer B steeds trager lopen dan de zijne.

Hier moet ik twee kanttekeningen maken. Ten eerste moet je duidelijk maken wat je bedoelt met 'zien'. Bedoel je hier de tijd in het beeld dat waarnemer A ziet of bedoel je hier het tijdsgedeelte van de ruimte-tijd-coordinaten van waarnemer B in het stelsel van waarnemer A?

Ten tweede loopt de tijd van B niet de hele tijd trager. De situatie is namelijk volledig symmetrisch. De klokken zullen dus gelijk lopen op de kruispunten. Als er dus al een moment is dat je de ander zijn klok langzamer ziet lopen (eerste betekenis van hierboven) dan heeft dit met het doppler effect te maken. De klokken zullen op het op elkaar afkomen dan ook sneller lopen.

Hij merkt dus dat wanneer ze elkaar passeren dat de klok van waarnemer B steeds meer en meer achterloopt op de zijne.

Dit is volgens mij onjuist. Ik beroep mij o.a. op het feit dat er satellieten in tegengestelde richting om de aarde draaien en hierbij het voorgestelde probleem niet voorkomt.

Je kan dit narekenen, en dit klopt (uiteraard).

Volgens mij klopt dit niet. De eigentijd over beiden paden is gelijk. De verstreken tijd op beiden klokken dus ook.

Waarnemer B kan vanuit symmetrie echter krak dezelfde bewering doen. Hij zegt: telkens we mekaar passeren loopt de klok van B meer en meer achter op de mijne. Beide uitspraken spreken mekaar tegen, dus ze kunnen niet beiden waar zijn.

Sterker nog: ze zijn allebei onjuist. Zoals je zelf al opmerkt is de situatie volledig symmetrisch. De klokken van A en B zullen op de kruispunten gelijk staan (zowel in het stelsel van A als in dat van B).

Vermits op 1 punt tijd absoluut is, zijn ze het wel degelijk eens over het tijdstip van meten: A meet in het stelsel van B op hetzelfde tijdstip als B.

Ze zijn het ook eens over het tijdstip dat ze meten. Ze meten op de kruispunten dezelfde tijd. Dat betekent echter niet dat dit punt in de tijd absoluut is. Het park is het bijvoorbeeld niet eens met beide hardlopers. [rr]

#10

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 december 2006 - 21:50

ik ben in de overtuiging geraakt dat aaneenrijgen toch niet mag (het leidt duidelijk tot een verkeerd resultaat). Ben eens gaan kijken naar de wiskundige manier om via transformatie van de metriek en dan gans de boel, maar het lijkt me echt huzarenwerk. Heb jij dat zo gedaan Sybke?

#11

Sybke

    Sybke


  • >250 berichten
  • 599 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2006 - 14:17

...echter, ik bekom een gammafactor:
LaTeX


Deze is steeds groter dan 1 (wat trouwens algemeen moet gelden), dus integreren volgens...
LaTeX
waarbij LaTeX de eigentijd van deeltje B, t de tijd die A toekent aan de gebeurtenissen.
Als je een andere gammafactor uitkomt wil ik graag de structuur van mijn afleiding geven, maar kleiner dan 1 zal hij toch nooit mogen zijn.

In dit geval is een gammafactor kleiner dan 1 mogelijk, omdat A noch B een inertiaalstelsel zijn. Gezien vanuit B zou de tijd in A best wel eens sneller kunnen gaan dan normaal, omdat B versnelt. Zie de grafiek uit een vorige post van mij... de tijd loopt afwisselend sneller en langzamer.

Ben eens gaan kijken naar de wiskundige manier om via transformatie van de metriek en dan gans de boel, maar het lijkt me echt huzarenwerk. Heb jij dat zo gedaan Sybke?

Ik overdenk het probleem volledig in beelden. Ik maak dus eerst een schets van de situatie in de minkowskiruimte (1 tijdas en 2 ruimteassen), en maak er op die manier een meetkundig probleem van, die ik wiskundig oplos. Wil je dat ik de schets post?

#12

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 december 2006 - 15:21

evilbro heeft terecht opgemerkt dat mijn formulering nogal zwak was.

De 'gelijke snelheid' is dus ten opzichte van het park.

ja

Hier moet ik twee kanttekeningen maken. Ten eerste moet je duidelijk maken wat je bedoelt met 'zien'. Bedoel je hier de tijd in het beeld dat waarnemer A ziet of bedoel je hier het tijdsgedeelte van de ruimte-tijd-coordinaten van waarnemer B in het stelsel van waarnemer A?

ik bedoel dat de eigentijd van B aan A wordt meegedeeld, eventueel via lichtstralen.

Het park is het bijvoorbeeld niet eens met beide hardlopers. [rr]

ik bedoelde uiteraard dat de gelijktijdigheid van 2 gebeurtenissen op 1 punt absoluut is. het park is het eens met onze vrienden wanneer ze beweren dat ze 'tegelijkertijd' de waarde van elkaars klok noteerden. (het zijn uiteraard goed getrainde hardlopers, die simultaan kunnen hardlopen en fysische metingen doen)

Ten tweede loopt de tijd van B niet de hele tijd trager. De situatie is namelijk volledig symmetrisch. De klokken zullen dus gelijk lopen op de kruispunten. Als er dus al een moment is dat je de ander zijn klok langzamer ziet lopen (eerste betekenis van hierboven) dan heeft dit met het doppler effect te maken. De klokken zullen op het op elkaar afkomen dan ook sneller lopen.

ik ben het er mee eens dat er iets niet klopt van wat ik zeggen. De redenering werd gevoerd vanuit de integratiemethode, en de onderstelling dat gamma steeds groter is dan 1...

In dit geval is een gammafactor kleiner dan 1 mogelijk, omdat A noch B een inertiaalstelsel zijn. Gezien vanuit B zou de tijd in A best wel eens sneller kunnen gaan dan normaal, omdat B versnelt.

...fout dus

Ik overdenk het probleem volledig in beelden. Ik maak dus eerst een schets van de situatie in de minkowskiruimte (1 tijdas en 2 ruimteassen), en maak er op die manier een meetkundig probleem van, die ik wiskundig oplos. Wil je dat ik de schets post?


dat had ik al langer moeten doen. Ben precies een beetje vastgeroets in de formuletjes. ik heb de schets gemaakt en ga er straks eens aan rekenen. Ik ben tevreden deze vraag gesteld te hebben, begrijp nu ten gronde niet-inertiaalstelsels in SR.

#13

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 mei 2007 - 01:49

Ben benieuwd of je al verder bent gekomen :(
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#14

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 mei 2007 - 09:35

ik heb gezien waar de fout zat, ben dan even beginnen verder rekenen en 2 bladzijden verder gestopt.

Was toen examens aan het doen, heb gemerkt dat ik een oefening aan het maken was die dit jaar van de lijst was gehaald en vond het een té langdradige berekening, gezien de tijdsdruk voor andere examens. Moest Sybke nog zin hebben zou ik uiteraard nog steeds geïnteresseerd zijn.

#15

Nassarius

    Nassarius


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 december 2008 - 00:16

A kan niet volgens de welbekende formule...

Geplaatste afbeelding
...de tijd van B berekenen omdat A geen inertiaalstelsel is (draait rondjes), en omgekeert geldt dat ook voor B.

Kent elk vast punt een inertiaalstelsel? Zo ja... Wat maakt het dan uit of dat punt draait,zolang het maar constand is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures