Ik heb een probleem bij een oefening van logica. Je moet zeggen of de volgende zin al dan niet logisch waar is:
\((\forall x)(\exists y)(P(x,y) \leftrightarrow R(x,y)) \to ((\forall y)(\exists x)P(x,y) \to (\exists x)(\exists y)R(x,y))\)
Ik wou eerst proberen te bewijzen dat het logisch waar is mbv van de methode van het gezond verstand.Dus je hebt gegeven dat het antecedens waar is en dan moet je bewijzen dat het con sequens waar moet zijn.
Gegeven:
(1):
\(D\models (\forall x)(\exists y)(P(x,y) \leftrightarrow R(x,y))\)
(2): \(D\models (\forall y)(\exists x)P(x,y)\)
Te bewijzen:(3):
\(D\models (\exists x)(\exists y)R(x,y)\)
Hier mijn redenering:Uit (1) volgt dat er een b bestaat zodat
(4):
\(D\models (\forall x)(P(x,b) \leftrightarrow R(x,b))\)
Uit (2) volgt dat er een a bestaat zodat(5):
\(D\models (\forall y)P(a,y)\)
Zin (4) geldt voor elk willekeurig element uit het universum, dus ook voor a. Neem dus x=a zodat uit (4):(6):
\(D\models P(a,b) \leftrightarrow R(a,b)\)
Zin (5) geldt voor elk willekeurig element uit het universum, dus ook voor b. Neem dus y=b zodat uit (5):(7):
\(D\models P(a,b)\)
Als je (6) en (7) samen neemt, geldt dat(8):
\(D\models R(a,b)\)
en a en b zijn elementen uit het universum dus de volgende zin is zeker waar:(9):
\((\exists x)(\exists y)R(x,y)\)
wat hetgeen is dat we moeten bewijzen. Dus de hele zin is logisch waar.Nu lees ik in mijn notities dat de zin eigenlijk niet logisch waar is. Ze doen dat mbv een tegenvoorbeeld. Nu vraag ik mij af waar dan de fout is in mijn redenering?
bvb
