Moderators: dirkwb, Xilvo
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de
Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 824
Hoi,
ik wil het volgende bewijzen (want het was een examenvraag vorig jaar):
Stel dat
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(y_n)=+\infty\)
en
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(x_n)=a\)
, dan is
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(y_n\cdot x_n)=+\infty\)
.
Bewijs
Kies een willekeurige M
en zij a
.
- Omdat
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(y_n)=+\infty\)
, kunnen y
n groter krijgen dan
\(\frac{M}{a-1}\)
voor alle
\(n \geq n_1\)
.
- Omdat
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(x_n)=a\)
, kunnen we |x
n-a| kleiner krijgen dan 1. Dus geldt: -1<x
n-a<1
\(\Leftrightarrow\)
x
n > a-1 voor alle
\(n \geq n_2\)
.
Neem nu
\(n_0=\max{n_1,n_2}\)
, dan geldt voor elke n groter dan n
0 dat:
\(x_n\cdot y_n > \frac{M}{a-1}\cdot (a-1)=M\)
Bijgevolg is
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(y_n\cdot x_n)=+\infty\)
Klopt dit bewijs volgens jullie?
Groeten,
Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
-
- Berichten: 792
Neen. Omdat de stelling zelfs niet klopt. Wat als a nul is?
Beschouw bijvoorbeeld
\(y_{n}=n\)
en
\(x_{n}=\frac{1}{n^2}\)
-
- Berichten: 824
\(a \in \rr_0^+\)
, dat is een typfout in de eerste regel van mijn bewijs.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
-
- Berichten: 2.746
jouw voorbeeld is toch geen probleem? die gaat gewoon naar oneindig hoor
misschien bedoeldje je: xn=1/n ?
-
- Berichten: 792
\(a \in \rr_0^+\)
, dat is een typfout in de eerste regel van mijn bewijs.
Dan nog zijn er problemen in je bewijs :
a kan 1 zijn
a kan tussen nul en een liggen, en dan gaan je ongelijkheden vervelend doen
In plaats van te eisen dat
\( |x_{n}-a|< 1\)
zou ik opleggen dat |
\(x_{n}-a|<\frac{a}{2}\)
En van
\(y_{n}\)
zou ik eisen dat het groter is dan
\(\frac{2 M} {a }\)
Zo komt het wel goed.
-
- Berichten: 792
superslayer schreef:jouw voorbeeld is toch geen probleem? die gaat gewoon naar oneindig hoor
misschien bedoeldje je: xn=1/n ?
Dit was de oorspronkelijke opgave. Mijn voorbeeld is wel degelijk een probleem. Waaraan twijfel je.
raintjah schreef:Hoi,
ik wil het volgende bewijzen (want het was een examenvraag vorig jaar):
Stel dat
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(y_n)=+\infty\)
en
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(x_n)=a\)
, dan is
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(y_n\cdot x_n)=+\infty\)
.
-
- Berichten: 824
raintjah schreef:\(a \in \rr_0^+\)
, dat is een typfout in de eerste regel van mijn bewijs.
Dan nog zijn er problemen in je bewijs :
a kan 1 zijn
a kan tussen nul en een liggen, en dan gaan je ongelijkheden vervelend doen
In plaats van te eisen dat
\( |x_{n}-a|< 1\)
zou ik opleggen dat |
\(x_{n}-a|<\frac{a}{2}\)
En van
\(y_{n}\)
zou ik eisen dat het groter is dan
\(\frac{2 M} {a }\)
Zo komt het wel goed.
Zo komt het idd wel goed.
Hoe zou ik zoiets nu kunnen bewijzen voor quotient rij? Want daar kom ik niet echt uit.
Dus, bewijzen dat:
\(\frac{a}{+\infty}=0\)
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
-
- Berichten: 792
evilbu schreef:raintjah schreef:\(a \in \rr_0^+\)
, dat is een typfout in de eerste regel van mijn bewijs.
Dan nog zijn er problemen in je bewijs :
a kan 1 zijn
a kan tussen nul en een liggen, en dan gaan je ongelijkheden vervelend doen
In plaats van te eisen dat
\( |x_{n}-a|< 1\)
zou ik opleggen dat |
\(x_{n}-a|<\frac{a}{2}\)
En van
\(y_{n}\)
zou ik eisen dat het groter is dan
\(\frac{2 M} {a }\)
Zo komt het wel goed.
Zo komt het idd wel goed.
Hoe zou ik zoiets nu kunnen bewijzen voor quotient rij? Want daar kom ik niet echt uit.
Dus, bewijzen dat:
\(\frac{a}{+\infty}=0\)
Gewoon x_n dicht gewoon bij a duwen zodat ie niet te groot is, en dan eisen dat y_n daarboven ligt :
concreet :
eis dat
\(x_n <(\frac{3|a|}{2}+1) \)
en eis dan dat
\(y_n>\frac{\frac{3 |a|}{2}+1}{\epsilon}\)
Die +1 die ik altijd doe is omdat ik problemen wil vermijden met a=0 en zo , ik ben nogal een perfectionist.
-
- Berichten: 2.746
evilbu schreef:superslayer schreef:jouw voorbeeld is toch geen probleem? die gaat gewoon naar oneindig hoor
misschien bedoeldje je: xn=1/n ?
Dit was de oorspronkelijke opgave. Mijn voorbeeld is wel degelijk een probleem. Waaraan twijfel je.
raintjah schreef:Hoi,
ik wil het volgende bewijzen (want het was een examenvraag vorig jaar):
Stel dat
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(y_n)=+\infty\)
en
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(x_n)=a\)
, dan is
\(\lim_{\nrightarrow \infty}(y_n\cdot x_n)=+\infty\)
.
je hebt gelijk, ik was iets te snel
Bericht
26-12-'06, 16:09
Rov
-
- Berichten: 2.242
Neen. Omdat de stelling zelfs niet klopt. Wat als a nul is?
Dan gebruik je toch gewoon De L'hopital?
-
- Berichten: 824
evilbu schreef:Neen. Omdat de stelling zelfs niet klopt. Wat als a nul is?
Dan gebruik je toch gewoon De L'hopital?
L'hopital mag hier niet gebruikt worden. Er moet bewezen worden met behulp van de definitie van limieten.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
-
- Berichten: 824
evilbu schreef:Gewoon x_n dicht gewoon bij a duwen zodat ie niet te groot is, en dan eisen dat y_n daarboven ligt :
concreet :
eis dat
\(x_n <(\frac{3|a|}{2}+1) \)
en eis dan dat
\(y_n>\frac{\frac{3 |a|}{2}+1}{\epsilon}\)
Die +1 die ik altijd doe is omdat ik problemen wil vermijden met a=0 en zo , ik ben nogal een perfectionist.
Zou je dit iets uitgebreider kunnen uitschrijven? Want ik begrijp het niet...
Alvast bedankt!
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
-
- Berichten: 792
raintjah schreef:evilbu schreef:Gewoon x_n dicht gewoon bij a duwen zodat ie niet te groot is, en dan eisen dat y_n daarboven ligt :
concreet :
eis dat
\(x_n <(\frac{3|a|}{2}+1) \)
en eis dan dat
\(y_n>\frac{\frac{3 |a|}{2}+1}{\epsilon}\)
Die +1 die ik altijd doe is omdat ik problemen wil vermijden met a=0 en zo , ik ben nogal een perfectionist.
Zou je dit iets uitgebreider kunnen uitschrijven? Want ik begrijp het niet...
Alvast bedankt!
Oke, probeer dit dan eens :
stel dat
\( x_n\)
streeft naar
\(a\in \mathbb{R}\)
en dat
\( y_n \)
naar
\(+\infty \)
streeft.
Dat is genoeg om te kunnen bewijzen dat
\( \frac{x_n}{y_n}\)
naar nul streeft
Nu zijn in het algemeen convergente rijen begrensd. Er is dus een
\(M>0\)
zodat alle
\(|x_n |< M\)
Kies een
\(\epsilon>0\)
Nu is er een
\( n_0\)
zodat
\( n> n_0\)
impliceert :
\( y_n>\frac{M}{\epsilon}\)
Dit betekent dat
\(n>n_0 \)
impliceert :
\( \frac{x_n}{y_n}< \epsilon\)
\(\epsilon\)
was wilekeurig, we concluderen dat de quotiëntrij naar nul streeft.
-
- Berichten: 792
Rov schreef:evilbu schreef:Neen. Omdat de stelling zelfs niet klopt. Wat als a nul is?
Dan gebruik je toch gewoon De L'hopital?
L'hopital mag hier niet gebruikt worden. Er moet bewezen worden met behulp van de definitie van limieten.
En dan nog, l'Hopital is met afgeleiden van functies. Je kan toch nooit een afgeleide nemen van rijen? Wat zou bijvoorbeeld de afgeleide van
\( n! \)
dan zijn?
-
- Berichten: 824
Bedankt evilbu
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
