[Wiskunde] Berekenen van limieten en raaklijnen van poolcoördinaten

vinny007

Geachte,

Ik moet voor mijn examens poolcoördinaten kennen en er berekeningen mee kunnen uitvoeren. Ik snap wel wat poolcoördinaten zijn maar enkele berekeningen lukken mij maar niet.

Vb:

-gegeven: r= 3{1+sin(µ/2)} met µ element van ]-pi,pi[

-gevraagd: a) teken een schets ( geen probleem )

b) Bepaal dy/dx voor de rechthoekcoördinaten x en y en bepaal dan

y'(3), y'(x) en y(3) (PROBLEEM)

c) kies een punt en bepaal de raaklijn

bij C ken ik de formule wel ( y= dy/dx .x + c ) maar daar zit dan weer die afgeleide in die ik in B al niet kon berekenen en ik heb ook geen flauw idee hoe ik aan die c zou moeten komen...

Ik weet ook dat x=r.cos(µ) en y=r.sin(µ) maar dit heeft me nog niet véél geholpen, enkel om de schet te maken!

Zou iemand mij hier mee kunnen helpen aub?

Dank bij voorbaat!!!

Jekke

Voor de eenvoud vervang ik μ door t.

Deze formule laat zich niet zomaar algemeen omzetten in een cartesische vergelijking, je moet daar aparte gebieden van t voor beschouwen en dan nog eens explitiet naar y uitwerken zal ook geen lachertje zijn. Als je het punt dat je wil beschouwen in (r,t)-vorm hebt, kun je altijd deze truuk toepassen om dy/dx te vinden:

(zie http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordin...ential_calculus)

\(\left{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt}=(r(t)\cos(t))^\prime=r'(t)\cos(t)-r(t)\sin(t) \frac{dy}{dt}=(r(t)\sin(t))^\prime=r'(t)\sin(t)+r(t)\cos(t) \end{array} \right.\)

De tweede vergelijking delen door de eerste resulteert in:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{r'(t)\sin(t)+r(t)\cos(t)}{r'(t)\cos(t)-r(t)\sin(t)}\)

In jouw geval geeft dit:

\(\frac{dy}{dx}={\frac {3,\cos \left( t \right) \left( 1+\sin \left( \frac{t}{2} \right) \right) +\frac{3}{2}\sin \left( t \right) \cos \left( \frac{t}{2} \right) }{-3,\sin \left( t \right) \left( 1+\sin \left( \frac{t}{2} \right) \right) +\frac{3}{2}\cos \left( t \right) \cos \left( \frac{t}{2} \right) }} (^*)\)

Nu is het eenvoudig het gevraagde te bepalen:

Voor x=3 zijn volgens x=r(t)*cos(t) twee mogelijkheden voor t binnen het opgelegde interval. Neem voor de eenvoud het geval t=0. Dan is r=3 volgens r=3(1+sin(t/2)), en y(3)=0 volgens y=r(t)*sin(t). Volgens (*) is dan

\(\frac{dy}{dx}=2\)

. De raaklijn in dit punt is dus y=2x+c. Om c te vinden moet je gewoon bijvoorbeeld het tot nu toe beschouwde punt (3,0) invullen, wat geeft c=-6, dus de raaklijn in x=3 is: y=2x-6.

Nog een interessante site: http://www.ping.be/~ping1339/polar.htm

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Wiskunde] Berekenen van limieten en raaklijnen van poolcoördinaten

[Wiskunde] Berekenen van limieten en raaklijnen van poolco

Re: [Wiskunde] Berekenen van limieten en raaklijnen van poolco