meetkunde: aantonen gelijke lengten

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Gebruikersavatar
Berichten: 436

meetkunde: aantonen gelijke lengten

\(D\)
is een punt op de zijde
\(AB\)
van
\(\Delta\)
\(ABC\)
. De ingeschreven cirkel van
\(\Delta\)
\(ABC\)
raakt
\(AB\)
in
\(P\)
. De ingeschreven cirkels van
\(\Delta\)
\(ADC\)
en
\(\Delta\)
\(DBC\)
raken de zijde
\(DC\)
in
\(Q\)
en
\(R\)
, respectivelijk.

Toon aan dat
\(DP=QR\)
.

Edit: Hoe doe je eigenlijk die 'delta',
\(\Delta\)
gaat niet.

Edit2: Aha toch wel.

Berichten: 2.746

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

ik zie niet direct iets eenvoudigs,

maar met coordinaten rekenen zou na redelijk wat werk wel moeten lukken denk ik,

het middelpunt van een ingeschreven cirkel ligt op het snijpunt van de drie bissectricen

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

Ik ben benieuwd naar een analytisch bewijs.

Ik heb wel een synthetisch bewijsje.

Gebruikersavatar
Berichten: 284

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

Wat is dan het synthetisch bewijs?

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

Afbeelding

Het gevraagde is hetzelfde als bewijzen dat
\(YZ=QD\)
Het is duidelijik dat
\(\Delta\)
\(EQD\)
\(\sim\)
\(\Delta\)
\(FMD\)
Dus
\(FM/QD=DM/EQ\)
\((1)\)
Volgens Pythagoras en
\((1)\)
is
\(ED^2-EQ^2=QD^2=FM^2.EQ^2/DM^2.\)
Natuurlijk is
\(YZ^2=FY^2-FM^2=FY^2-DM^2.QD^2/EQ^2\)
We moeten aantonen dat
\(FY^2-DM^2.QD^2/EQ^2=FM^2.EQ^2/DM^2.\)
\((3)\)
We weten ook dat
\(EQ/DM=QD/FM=a\)
\((2)\)
Dus
\(FM^2.a^2=FY^2-QD^2/a^2\)
\(FM^2.a^2+QD^2/a^2=FY^2\)
\(FM^2.a^2+FM^2=FY^2\)
Uit
\((2)\)
weten we dat
\(FM^2.a^2=QD^2\)
.

Hiermee is aangetoond dat
\((3)\)
correct is.
\(QED?\)
PS: Gelukkig Nieuwjaar :)

Gebruikersavatar
Berichten: 284

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

Volgens mij gebruik je hier (3).
mo² schreef:Dus  
\(FM^2.a^2=FY^2-QD^2/a^2\)
\(FM^2.a^2+QD^2/a^2=FY^2\)
\(FM^2.a^2+FM^2=FY^2\)
We willen bewijzen dat (3) correct is, dus ook bovenstaande drie stellingen moeten nog bewezen worden!
Uit
\((2)\)
weten we dat
\(FM^2.a^2=QD^2\)
.
Hieruit volgt onderstaande stelling, die nog steeds niet bewezen is.
\(QD^2+FM^2=FY^2\)
Hiermee is aangetoond dat
\((3)\)
correct is.
\(QED?\)
Volgens mij is hiermee nog niet aangetoond dat (3) correct is.

Het komt er op neer dat je probeert te bewijzen dat \(QD^2+FM^2=FY^2\)

In onderstaand figuur heb ik de driehoek ook in tweeën gedeeld, maar met een lijn die niet door C gaat. Ook hier zou volgens jouw bewijsvoering gelden dat QD=YZ, terwijl dat niet zo is.

Afbeelding[/img][/url]

Ik vraag me af waar je dit "bewijs" vandaan hebt. En ik vind het verrassend dat zo'n simpel uitziende stelling nog zo lastig te bewijzen is. Ik heb nog geen bewijs kunnen bedenken.

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

Ik heb toch aangetoond dat 3 waar is door 2 te gebruiken (en 2 is "gegeven") ?

Het "vermoeden" (3) bewijs ik, toch ?

YZ=QD <=> QD=PM <=> PD=QR

Dus...

Gebruikersavatar
Berichten: 284

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

Je hebt (2) gebruikt, maar je hebt (3) nog niet bewezen.

\(QD^2+FM^2=FY^2\) volgt uit stellingen die nog niet bewezen zijn.

In mijn tekening is QD<YZ:

QD = 3,30

YZ = 4,35

Je hebt bewezen dat 3,30 = 4,35

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

Wie zegt dat we jouw tekening moeten gebruiken ? (ik bedoelde natuurlijk de mijne)
\(FY^2=FZ^2+YZ^2\)
Dus de stelling 3 moeten we bewijzen :
\(FM^2.a^2+FM^2=FY^2\)
Dit is dus (3)

Hieruit volgt dat
\(FM^2.a^2=QD^2\)
zou moeten zijn. Dit is ook als we (2) gebruiken.

Gebruikersavatar
Berichten: 284

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

mo² schreef:Het gevraagde is hetzelfde als bewijzen dat
\(YZ=QD\)
mee eens

Het is duidelijik dat
\(\Delta\)
\(EQD\)
\(\sim\)
\(\Delta\)
\(FMD\)
mee eens

Dus
\(FM/QD=DM/EQ\)
\((1)\)
mee eens

Volgens Pythagoras en
\((1)\)
is  
\(ED^2-EQ^2=QD^2=FM^2.EQ^2/DM^2.\)
Natuurlijk is
\(YZ^2=FY^2-FM^2=FY^2-DM^2.QD^2/EQ^2\)
mee eens

We moeten aantonen dat
\(FY^2-DM^2.QD^2/EQ^2=FM^2.EQ^2/DM^2.\)
\((3)\)
Dit moeten we inderdaad nog bewijzen.

We weten ook dat
\(EQ/DM=QD/FM=a\)
\((2)\)
mee eens

Dus  
\(FM^2.a^2=FY^2-QD^2/a^2\)
Dit mogen we nog niet beweren. Pas als we (3) bewezen hebben, mogen we dit stellen.
\(FM^2.a^2+QD^2/a^2=FY^2\)
Zelfde als hierboven.
\(FM^2.a^2+FM^2=FY^2\)
Pas als (3) bewezen is, kunnen we deze stelling gebruiken.

Uit
\((2)\)
weten we dat
\(FM^2.a^2=QD^2\)
.

Mee eens.

Hiermee is aangetoond dat
\((3)\)
correct is.
\(QED?\)
Dit klopt:
\(YZ^2+FM^2=FY^2\)
[/color]

Maar of dit klopt:
\(QD^2+FM^2=FY^2\)
???

Het klopt inderdaad als \(QD=YZ\). Maar dat is nou net hetgene wat moet worden bewezen. Dat mogen we dus niet zomaar aannemen.

[/color]
Om te illustreren dat je geen voldoende bewijs hebt geleverd, heb ik een andere tekening gemaakt. Daarin zitten precies dezelfde gelijkvorimgheid en Pythagorasdriehoeken. Maar daar is QD NIET gelijk aan YZ. Maar volgens jouw bewijsvoering WEL!!! Loop je bewijs maar eens langs, maar dan met mijn tekening. Dan moet je tot dezelfde conclusie komen dat QD=YZ. Maar in werkelijkheid is dat helemaal niet zo.

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

Vreemd dat niemand anders reageert.

Volgens mij is het bewezen zo.

Stelling 3 is gwn bewezen, duidelijker kan niet

Gebruikersavatar
Berichten: 284

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

Is in de situatie van mijn tekening dan ook QD=YZ volgens jou?

Je bewijs kan overigens niet kloppen, want je hebt niet alle gegevens gebruikt: de scheidingslijn CD (die de driehoek in tweeën deelt) gaat door het punt C. Ik zou ook niet weten hoe we dit gegeven kunnen kwantificeren.

Maar teken nu eens een scheidingslijn door een punt D op zijde AB, die niet door punt C gaat, dan heb je nog steeds dezelfde gelijkvormigheid \(\Delta EQD\sim\Delta FMD\) en dezelfde Pythagorasverbanden \(ED^2=EQ^2+QD^2\) en \(YF^2=YZ^2+FZ^2\) (zie mijn tekening voor een voorbeeld). Maar nu geldt \(YZ\neq QD\). Kun je dat dan verklaren? Heb je je bewijs al doorlopen met mijn tekening?

De volgende gelijkheden heb je niet bewezen:
\(FM^2.a^2=FY^2-QD^2/a^2\)
\(FM^2.a^2+QD^2/a^2=FY^2\)
\(FM^2.a^2+FM^2=FY^2\)
Er staat gewoon drie keer hetzelfde, maar dan met andere letters.

Met (2) erbij, krijg je de gelijkheid:
\(YZ^2+FM^2=FY^2\)
Je hebt dan wel (2) gebruikt en daarmee een andere gelijkheid gekregen, maar die is net zo min bewezen als de drie voorgaande.

Nogmaals: is in de situatie van mijn tekening dan ook \(YZ=QD\) volgens jou?

Ik gebruik jouw bewijs, die aantoont dat \(YZ=QD\), maar \(YZ\neq QD\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

mo² schreef:
\(D\)
is een punt op de zijde
\(AB\)
van
\(\Delta\)
\(ABC\)
. De ingeschreven cirkel van
\(\Delta\)
\(ABC\)
raakt
\(AB\)
in
\(P\)
. De ingeschreven cirkels van
\(\Delta\)
\(ADC\)
en
\(\Delta\)
\(DBC\)
raken de zijde
\(DC\)
in
\(Q\)
en
\(R\)
, respectivelijk.  

Toon aan dat
\(DP=QR\)
.

Edit: Hoe doe je eigenlijk die 'delta',
\(\Delta\)
gaat niet.

Edit2: Aha toch wel.
Jullie posten heb ik met aandacht gelezen en (naar mijn mening) heeft phi hung gelijk. Dwz mo² zit in een 'cirkelredenering'.

Ik geef hier een 'synthetisch' bewijs, maar ik heb daarvoor nog een paar ptn nodig. Noem de middelptn van de incirkel van de drhkn ABC, ADC en BDC resp M, N en O en de proj van deze ptn op AB resp P, E en F. Trek de lijnstukken MP en NE.

Ik gebruik nu een def van het par nl: Een par is de gesloten figuur (in het platte vlak) begrensd door twee paar onderling evenwijdige zijden.

Het bewijs is een constructiebewijs.

Teken de lijn door F en R en snijd deze met MP. Noem het snijpunt S. Vanuit S een lijn evenwijdig aan AB. Deze snijdt NE in (voor even!) N'. Trek nu de lijn door D evenwijdig FR (bedenk OD staat loodrecht FR en loodrecht de biss van hk ADC). Deze lijn snijdt NE in N, want dit is de biss van hk ADC. We hebben nu de gesloten figuur nl het par LDNS, dus N'=N.

Gevolg: FD=SN=PE (immers vierh PENS is ook een par, eigenlijk een rechthoek). Verder volgt dan FP=DE=DQ.

En nu volgt: FD=DR=PE en tenslotte DP=PQ.

Ik heb ook nog naar een 'analytisch' bewijs gekeken, maar dat is heel wat lastiger vanwege de incirkels. En dat betekent weer het werken met afstanden of nog lastiger met tangenten van halve hoeken!!!

Opm: S ligt 'onder' M.

Gebruikersavatar
Berichten: 284

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

Hey mo2, waar heb je deze opgave eigenlijk vandaan?
Einstein meets Pythagoras E = m(a2+b2)

Gebruikersavatar
Berichten: 436

Re: meetkunde: aantonen gelijke lengten

phi hung, ge hebt gelijk. Stelling 3 is niet bewezen.

Safe bedankt voor jouw bewijs.

Reageer