Springen naar inhoud

Hoofdeigenschap van continue functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2006 - 10:32

Als een functie f continu is op het interval [a,b] dan is f([a,b]) een begrensde deelverzameling van R die haar infimum en supremum bevat.

In het bewijs hiervan toont men eerst aan dat die verzameling f([a,b]) wel degelijk begrensd is mbv een bewijs uit het ongerijmde. Dit vind ik persoonlijk nogal pittig. Is er iemand die in het kort een beetje kan uitleggen waarom men dat zo bewijst, of iemand die een ander bewijs kent?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2006 - 10:35

Ik heb die stelling ook gezien, enkel staat er in mijn cursus bij:

... Vermits de stelling via een tekening zo aannemelijk is, is het wat verrassend dat een rigoureus bewijs ervan niet zo direct uit de mouw te schudden is. We gaan er hier dan ook niet op in.


Misschien kan je het bewijs uit jouw cursus hier eventjes tonen?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#3

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2006 - 10:56

Ok dan, in het kort doet men dit.
Men veronderstelt het tegengestelde, dat f in [a,b] niet naar boven begrensd is.
Voor elk natuurlijk getal n geldt dan dat het geen bovengrens is van f([a,b]). Daardoor bestaat er ook een punt LaTeX zodat f(xn) > n. Waarbij xn afhangt van het gekozen (natuurlijke) getal n.
We bekomen zo een rij getallen xn in [a,b] met de eigenschap:
LaTeX
De rij getallen xn is begrensd omdat xn in [a,b] zit voor elke n. (nu begint het voor mij waziger teworden :))
Volgens de stelling van Bolzano Weierstrass (die zegt, elke begrensde rij heeft een convergente deelrij) is er dan een convergente deelrij (die noemen we LaTeX met limiet x0. )
Omdat [a,b] gesloten is, geldt ook dat x0 in [a,b] zit.
LaTeX Uit de rijdefinitie van continuďteit volgt dan dat
LaTeX

Ook is LaTeX zodat LaTeX niet naar boven begrensd is ( :) ). Dit is in tegenspraak met het bestaan van de limiet LaTeX

Tegenspraak, dus f([a,b]) is wel naar boven begrensd. (het bewijzen dat het naar onder begrensd is is analoog)[/url]

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 28 december 2006 - 11:12

Wat is er zo wazig aan?

#5

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2006 - 11:16

Na het intypen van heel het ding was het wel duidelijker. Alleen het laatste stukje. Hoe komt men daarbij? vanafLaTeX .

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 28 december 2006 - 12:10

LaTeX voor alle m, dus ook voor LaTeX
Dus LaTeX
Verder is LaTeX een stijgende rij natuurlijke getallen, dus LaTeX

#7

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2006 - 12:13

Ok, alle vragen ivm het tweede deel van het bewijs zijn nu ook al verdwenen :). Bedankt.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures