Als een functie f continu is op het interval [a,b] dan is f([a,b]) een begrensde deelverzameling van R die haar infimum en supremum bevat.
In het bewijs hiervan toont men eerst aan dat die verzameling f([a,b]) wel degelijk begrensd is mbv een bewijs uit het ongerijmde. Dit vind ik persoonlijk nogal pittig. Is er iemand die in het kort een beetje kan uitleggen waarom men dat zo bewijst, of iemand die een ander bewijs kent?
Laatste berichten
-
08:24
Schroefdraad berekening 7
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
22:27
positie 1
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Hoofdeigenschap van continue functies
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 824
Re: Hoofdeigenschap van continue functies
Ik heb die stelling ook gezien, enkel staat er in mijn cursus bij:
Misschien kan je het bewijs uit jouw cursus hier eventjes tonen?
... Vermits de stelling via een tekening zo aannemelijk is, is het wat verrassend dat een rigoureus bewijs ervan niet zo direct uit de mouw te schudden is. We gaan er hier dan ook niet op in.
Misschien kan je het bewijs uit jouw cursus hier eventjes tonen?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
-
- Berichten: 2.242
Re: Hoofdeigenschap van continue functies
Ok dan, in het kort doet men dit.
Men veronderstelt het tegengestelde, dat f in [a,b] niet naar boven begrensd is.
Voor elk natuurlijk getal n geldt dan dat het geen bovengrens is van f([a,b]). Daardoor bestaat er ook een punt
We bekomen zo een rij getallen xn in [a,b] met de eigenschap:
)
Volgens de stelling van Bolzano Weierstrass (die zegt, elke begrensde rij heeft een convergente deelrij) is er dan een convergente deelrij (die noemen we
Omdat [a,b] gesloten is, geldt ook dat x0 in [a,b] zit.
Ook is ). Dit is in tegenspraak met het bestaan van de limiet
Tegenspraak, dus f([a,b]) is wel naar boven begrensd. (het bewijzen dat het naar onder begrensd is is analoog)[/url]
Men veronderstelt het tegengestelde, dat f in [a,b] niet naar boven begrensd is.
Voor elk natuurlijk getal n geldt dan dat het geen bovengrens is van f([a,b]). Daardoor bestaat er ook een punt
\(x_n \in [a,b]\)
zodat f(xn) > n. Waarbij xn afhangt van het gekozen (natuurlijke) getal n.We bekomen zo een rij getallen xn in [a,b] met de eigenschap:
\(\forall n \in \nn : f(x_n) > n\)
De rij getallen xn is begrensd omdat xn in [a,b] zit voor elke n. (nu begint het voor mij waziger teworden )Volgens de stelling van Bolzano Weierstrass (die zegt, elke begrensde rij heeft een convergente deelrij) is er dan een convergente deelrij (die noemen we
\( x_{\Phi (n)}\)
met limiet x0. )Omdat [a,b] gesloten is, geldt ook dat x0 in [a,b] zit.
\(\lim_{n \rightarrow \infty} x_{\Phi(n)} = x_0\)
Uit de rijdefinitie van continuïteit volgt dan dat\(\lim_{n \rightarrow \infty} f \left(x_{\Phi(n)} \right) = f(x_0)\)
Ook is
\( f(x_{\Phi(n)}) > \Phi(n) \geq n\)
zodat \(f(x_{\Phi(n)})\)
niet naar boven begrensd is ( ). Dit is in tegenspraak met het bestaan van de limiet \(\lim_{n \rightarrow \infty} f \left(x_{\Phi(n)} \right) = f(x_0) \in \rr\)
Tegenspraak, dus f([a,b]) is wel naar boven begrensd. (het bewijzen dat het naar onder begrensd is is analoog)[/url]
-
- Berichten: 2.242
Re: Hoofdeigenschap van continue functies
Na het intypen van heel het ding was het wel duidelijker. Alleen het laatste stukje. Hoe komt men daarbij? vanaf
\( f(x_{\Phi(n)}) > \Phi(n) \geq n\)
.Re: Hoofdeigenschap van continue functies
\(f(x_m)>m\) voor alle m, dus ook voor \(m=\Phi(n)\)
Dus \(f(x_\Phi(n))>\Phi(n)\)
Verder is \((\Phi(n))_{n \in \nn}\) een stijgende rij natuurlijke getallen, dus \(\Phi(n) \geq n\)
Dus \(f(x_\Phi(n))>\Phi(n)\)
Verder is \((\Phi(n))_{n \in \nn}\) een stijgende rij natuurlijke getallen, dus \(\Phi(n) \geq n\)
-
- Berichten: 2.242
Re: Hoofdeigenschap van continue functies
Ok, alle vragen ivm het tweede deel van het bewijs zijn nu ook al verdwenen . Bedankt.
. Bedankt.