Bewijs ivm rijen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 28-12-'06, 16:20

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Bewijs ivm rijen

Hoi,

ik heb moeilijkheden met de volgende opgave:
Zij
\((x_n)_{n \in \nn}\)
een rij in :) die convergeert naar 2 en waarbij
\(x_n \neq 0\)
voor alle n :) :) .

Stel
\(y_n=\frac{1}{2x_n}\)
voor alle n :) ). Wat is de limiet van de rij
\((y_n)_{n \in \nn}\)
? Bewijs je antwoord m.b.v de definitie van limiet van een rij.
Ik heb het als volgt geprobeerd:

We weten dat xn naar 2 convergeert, dus
\(|x_n-2|<\epsilon\)
.

We voelen aan dat de rij yn naar 1/4 convergeert, dus:

TB:
\(\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \nn, \forall n \in \nn: \ngeq n_0 \Rightarrow |y_n-\frac{1}{4}|<\epsilon\)
Merk op:
\(|y_n-\frac{1}{4}|<\epsilon \Leftrightarrow |\frac{1}{2x_n}-\frac{1}{4}| < \epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{2}|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{2}|<\epsilon \Leftrightarrow |\frac{1}{x_n}-\frac{1}{2}|<2\epsilon\)
Omdat we weten dat
\(|x_n-2|<\epsilon\)
, kunnen we zeggen dat
\(|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{2}|<\epsilon\)
Om te bewijzen dat
\(|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{2}|<2\epsilon\)
volstaat het dus te bewijzen dat
\(\epsilon < 2\epsilon\)
, want
\( \epsilon > |\frac{1}{x_n}-\frac{1}{2}|\)
.

Inderdaad,
\(\epsilon\)
is kleiner dan
\(2\epsilon\)
Wat denken jullie?

Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 28-12-'06, 16:42

Rogier

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Bewijs ivm rijen

Je zit aardig goed, maar pas op:
Omdat we weten dat
\(|x_n-2|<\epsilon\)
, kunnen we zeggen dat
\(|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{2}|<\epsilon\)
Dit kun je niet zomaar klakkeloos aannemen zonder het te bewijzen. Het geldt bovendien niet voor alle
\(\epsilon\)
(wel voor voldoende kleine
\(\epsilon\)
, in dit geval
\(\epsilon<\frac{3}{2}\)
).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Omhoog

Bericht 28-12-'06, 16:51

Bert F

Berichten: 2.589

Re: Bewijs ivm rijen

Zomaar een ideetje:

maar mss dat we
\(|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{2}|=|\frac{2-x_n}{2x_n}|\)
we weten toch dat
\(|x_n-2|<\epsilon \rightarrow -\epsilon < x_n-2<\epsilon \)
en dus
\(\epsilon>-x_n+2\)
en daarom
\(|\frac{\epsilon}{2x_n}|\)
als we nu nog x_n afschatten hebben we het dan niet?

Groeten. Dank bij voorbaat.
Omhoog

Bericht 28-12-'06, 17:21

Donvanelli

Berichten: 32

Re: Bewijs ivm rijen

we willen het volgende krijgen:
\(\forall\epsilon >0:|y_n-L|<\epsilon \Leftrightarrow |\frac{1}{2x_n}-\frac{1}{2L}| < \epsilon \Leftrightarrow |\frac{L-x_{n}}{2Lx_{n}}|<\epsilon\)
o.d.d

We weten dat het volgende geldt:
\(\forall\delta >0:|x_{n}-L|<\delta \)
o.d.d.

Uit deze twee dingen halen we dat we het volgende moeten krijgen:
\(|\frac{\delta}{2Lx_{n}}|<\epsilon\)
Omdat x_{n} convergeert naar L is deze begrensd voor alle n.

Stel dat
\( |x_{n}|<M, \forall n \in N \)
dan:
\(|\frac{\delta}{2LM}|<|\frac{\delta}{2Lx_{n}}|<\epsilon\)
Omdat we
\(\delta\)
zo klein kunnen kiezen als wij maar willen krijgen we
\(\epsilon\)
ook zo klein als wij maar willen. Het is dus geldig voor alle
\(\epsilon >0\)
Omhoog

Bericht 28-12-'06, 17:32

tyhr

Berichten: 4

Re: Bewijs ivm rijen

Donvanelli, zou je antwoord wat gemakkelijker kunnen uitleggen? Ik snap er namelijk niet zoveel van. Misschien zou eens kunnen proberen het wat makkelijker te verwoorden?

Groetjes, tyhr.
Life is complex. Complex is our life.
Omhoog

Bericht 28-12-'06, 17:52

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Bewijs ivm rijen

Bert F schreef:Zomaar een ideetje:

maar mss dat we
\(|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{2}|=|\frac{2-x_n}{2x_n}|\)
we weten toch dat
\(|x_n-2|<\epsilon \rightarrow -\epsilon < x_n-2<\epsilon \)
en dus
\(\epsilon>-x_n+2\)
en daarom
\(|\frac{\epsilon}{2x_n}|\)
als we nu nog x_n afschatten hebben we het dan niet?  

Groeten. Dank bij voorbaat.
Ja, dat dacht ik ook, maar als je dat uitwerkt kom je er niet, kijk maar:

Het zou dus moeten volstaan te bewijzen dat
\(|\frac{\epsilon}{2x_n}|<\epsilon \Leftrightarrow |\frac{1}{2x_n}|<1 \Leftrightarrow |\frac{1}{x_n}|<2\)
en dat klopt niet hé.. Wel, dat klopt wel, maar dat is niet precies genoeg.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 28-12-'06, 21:01

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs ivm rijen

Waar je voor moet opletten is dat de grensindex n en de gekozen epsilon niet gelijk hoeft te zijn voor beide rijen.

We weten dat \(|x_n-2|<\epsilon\) voor n > m vanaf een zekere m.

We willen dan de volgende uitdrukking afschatten:
\(\left| {y_n - \frac{1}{4}} \right| = \left| {\frac{1}{{2x_n }} - \frac{1}{4}} \right| = \frac{1}{2}\left| {\frac{1}{{x_n }} - \frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2 - x_n }}{{2x_n }}} \right| = \frac{{\left| {x_n - 2} \right|}}{{4\left| {x_n } \right|}}\)
Om die laatste breuk naar boven af te schatten willen we een bovengrens voor de teller en een ondergrens voor de noemer.

Dat eerst is reeds gegeven, namelijk \(|x_n-2|<\epsilon\). Voor de noemer gebruiken we:
\(\left| 2 \right| - \left| {x_n } \right| le \left| {2 - x_n } \right| < \varepsilon \Rightarrow 2 - \left| {x_n } \right| < \varepsilon \Leftrightarrow \left| {x_n } \right| > 2 - \varepsilon \)
Dus:
\(\frac{{\left| {x_n - 2} \right|}}{{4\left| {x_n } \right|}} < \frac{\varepsilon }{{4\left( {2 - \varepsilon } \right)}}\)
Met epsilon positief wordt dit willekeurig klein indien je epsilon voldoende klein neemt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 28-12-'06, 21:22

Bert F

Berichten: 2.589

Re: Bewijs ivm rijen

Ja dat bedoelde ik. Ik baseerde mij op het bewijsje van
\(\lim\frac{1}{x}=\frac{1}{L}\)


Dat is ongeveer analoog. Groeten.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”