Springen naar inhoud

[Wiskunde] Bewijs voor 'De wortel van 2' is een irrationaal getal'


  • Log in om te kunnen reageren

#1

DuncanG

    DuncanG


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2007 - 08:38

Sorry dat ik de bijsluiter nog niet had gelezen. Dat was niet slim. :) Nu zal ik het duidelijker maken. Ik heb al gezocht op de volgende sites:
-www.wiskunst.nl
-www.kennislink.nl
-www.wetenschapsforum.nl ==> zoeken ''wortel2' is een irrationaal getal'.
Ik loop stuk op het gegeven dat de antwoorden die aangegeven staan niet bepaald duidelijk en begrijpbaar zijn. Op kennislink hadden ze het over logaritmes (wat dat ook mag zijn) :?:

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2007 - 08:43

Eerste google hit op wortel twee irrationaal levert http://nl.wikipedia...._irrationaal_is :)

Ik heb nog nooit een bewijs hiervoor gezien met logaritmes, dat lijkt me ook nodeloos ingewikkeld. Het argument uit de link hierboven met even/oneven noemer noemers en tellers is veel simpeler.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2007 - 08:53

We vervormen de stelling een beetje.
Wortel(2) is irrationaal of:
a˛ = 2 heeft geen rationale oplossing.

We bewijzen dit door het tegengestelde aan te nemen. Stel dat er dus wel een rationaal getal a bestaat zodat a˛ = 2. Omdat ieder rationaal getal als een breuk van twee natuurlijke getallen geschreven kan worden geldt:
a = m/n
Dus:
LaTeX
We zien dat m en n niet alletwee even zijn.

We kunnen zeggen dat
m˛ = 2n˛
Het rechterlid is even, daardoor is m˛ ook even en dus is m ook even.
We schrijven m als 2k
dus
4k˛ = 2n˛
of n˛ = 2k˛
Met dezelfde redering als bij m zien we dat n ook even is.
m en n zijn dus beiden even. Dit is in tegenspraak met de aanname dat m en n niet alletwee even zijn.
De aangenomen stelling dat er een rationaal getal a bestaat zodat a˛ = 2 is dus fout.
Conlusie: a˛ = 2 heeft geen rationale oplossing, echter wel een irrationale oplossing.

edit: dit is identiek aan de link van Rogier.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2007 - 11:20

Omdat ieder rationaal getal als een breuk van twee natuurlijke getallen geschreven kan worden geldt:
a = m/n
Dus:
LaTeX


We zien dat m en n niet alletwee even zijn.

Volgens mij "zie" je dat daar niet aan, maar dat kan je wel eisen!
Je kan de breuk namelijk vereenvoudigen, preciezer: je neemt a en b zodat hun ggd gelijk is aan 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2007 - 11:27

Inderdaad, maar even verderop verbeter ik mezelf weer door te zeggen "Dit is in tegenspraak met de aanname dat m en n niet alletwee even zijn.", het was slechts een aanname :).

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2007 - 11:28

Die natuurlijk wel gegrond moet zijn :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

DuncanG

    DuncanG


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2007 - 16:33

ja maar dat is het juist... die uitleg begrijp ik juist niet...

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2007 - 16:38

We willen bewijzen dat sqrt(2) irrationaal is, dus niet te schrijven als breuk van twee natuurlijke getallen. We bewijzen dit uit het ongerijmde, dat wil zeggen: we nemen aan dat het wél kan geschreven worden als breuk en tonen dan dat dit leidt tot een tegenspraak.

Nu over het vereenvoudigen van die breuk: we veronderstellen dus dat sqrt(2) te schrijven is als een zekere breuk a/b. Bovendien nemen we deze breuk zodat a en b geen gemeenschappelijke delers hebben. Dit mogen we doen, want gemeenschappelijke delers zou je gewoon kunnen wegdelen in teller en noemer (voorbeeld: 4/6 wordt 2/3, 3/12 wordt 1/4 enz).

Op die manier ben je er zeker van dat teller en noemer niet tegelijkertijd even kunnen zijn. Immers, als teller én noemer even waren, dan kon je teller en noemer nog delen door 2 en we hebben a/b net gekozen zodat ze geen gemeenschappelijke delers meer hebben, volledig vereenvoudigd dus.

Volg je de rest van het bewijs wel? Er wordt dan aangetoond dat als sqrt(2) = a/b, zowel teller en noemer even zouden zijn en dan kan niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

DuncanG

    DuncanG


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2007 - 16:57

ok dank je wel





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures