Springen naar inhoud

Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Pongping

    Pongping


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2007 - 17:48

Hallo,
In mijn boek Lineaire Algebra staat er een bewijs over de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz maar ze maken heel weinig tussenstappen dus ik kom er maar niet aan uit.
Ik zal misschien eerst even herhalen wat de stelling inhoudt:

Voor elk tweetal vectoren x,y in een vectorruimte V geldt:
LaTeX
waarbij het gelijkteken optreedt dan als en slechts als x en y lineair afhankelijk zijn.


Hier is het bewijs dat ze geven:
Als een van beide vectoren de nulvector is, is de stelling triviaal. Stel dus dat beide ongelijk aan de nulvector zijn (dit snap ik). Nu komt het.
Noem
LaTeX
Dan is
LaTeX
LaTeX
Omdat we verondersteld hebben dat LaTeX is dit equivalent met
LaTeX
zoals bewezen moest worden. Het gelijkteken treedt op dan en slechts dan als v=0, en dit is ermee equivalent dat x en y lineair afhankelijk zijn.


Ik snap niet hoe ze van LaTeX naar die andere uitdrukking komen. Ik vermoed met substitutie, maar ik heb het geprobeerd maar ik kom er niet aan uit. Ik kom aan uitdrukkingen zoals LaTeX enzo, dus met inproducten in het inproduct zelf.
Kan iemand het mij uitleggen?

bvb

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2007 - 18:03

Uit het feit dat het inproduct van v met zichzelf niet negatief is, volgt:

LaTeX

Dan kan je dit uitwerken omdat het inproduct bilineair is.
Ik doe het even algemeen met een lineaire combinatie:

LaTeX

Alleen heb jij niet a en b, maar <y,y> en <x,y>.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Pongping

    Pongping


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2007 - 19:41

Ah, nu zie ik het :). Ik had over het hoofd gezien dat <x,x> en <y,y> gewoon getallen waren, dus dat je die buiten de haakjes kon plaatsen. Dank je wel!

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2007 - 19:45

Het is misschien ook verwarrend, met al die inproducten, maar een inproduct geeft natuurlijk een scalair :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures