Springen naar inhoud

sinus en cosinus


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kylie

    kylie


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2007 - 19:52

Ik zoek alle oplossingen van f(x-y) = f(x).f(y) + g(x).g(y)

Ik weet dat cos(x-y) = cos(x).cos(y) + sin(x).sin(y)
Als f(x) = c, dan is g(x) = +/-:){c2 - c}
Ik wil weten of dit alle oplossingen zijn.
Ik heb het volgende gedaan. Als y=x dan is f(0) = f(x)2 + g(x)2.
Hoe kan ik nu aantonen dat f(0)=1?
en kan ik dan concluderen dat f(x) = cos(x) en g(x) = sin(x)?


Edit Moderator (Elmo): ongewenst signature verwijderd.
Geplaatste afbeelding

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 04 januari 2007 - 21:06

Dat ziet er niet zo eenvoudig uit.
Een eerste stapje:
Ik zie dat f een even functie moet zijn.
Vervang y door x en x door y, dan is
f(y-x) = f(y).f(x) + g(y).g(x) = f(x).f(y) + g(x).g(y) = f(x-y).
Dus, met y=0 staat er f(-x) = f(x).
f(x).f(y) + g(x).g(y) = f(x-y) = f(-x+y) = f(-x).f(-y) + g(-x).g(-y) = f(x).f(y) + g(-x).g(-y)
dus is g(x).g(y) = g(-x).g(-y).
en g(x).g(0) = g(-x).g(0).
Dan is g(x) = g(-x) f g(0) = 0.
g(x).g(x) = g(-x).g(-x),
dus (ik neem aan dat g continu moet zijn) g(x) = g(-x) of g(x) = -g(-x) voor alle x.
Als g(x) = g(-x), dan is
f(y+x) = f(y).f(-x) + g(y).g(-x) = f(y).f(x) + g(y).g(x) = f(y-x)
Kies a,b :) :?:. Dan is f(a) = f(b), want kies maar x = (a-b)/2 en y=(a+b)/2.
Dus f is constant en dus g ook, maar die oplossing hadden we al.
Dus g(x) = -g(x) voor alle x.
f(0) = f(0).f(0) + g(0).g(0) = f(0)^2.
Dus f(0) = 0 of f(0) = 1.
f(0) = f(x).f(x) + g(x).g(x).
Als f(0) = 0, dan is f(x) = g(x) = 0.
We veronderstellen dat f en g niet constant zijn, dus is f(0) = 1.
Uit f(x)^2+g(x)^2 = 1 volgt niet zonder meer dat f(x) = cos(x) en g(x) = sin(x).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures