Dat ziet er niet zo eenvoudig uit.
Een eerste stapje:
Ik zie dat f een even functie moet zijn.
Vervang y door x en x door y, dan is
f(y-x) = f(y).f(x) + g(y).g(x) = f(x).f(y) + g(x).g(y) = f(x-y).
Dus, met y=0 staat er f(-x) = f(x).
f(x).f(y) + g(x).g(y) = f(x-y) = f(-x+y) = f(-x).f(-y) + g(-x).g(-y) = f(x).f(y) + g(-x).g(-y)
dus is g(x).g(y) = g(-x).g(-y).
en g(x).g(0) = g(-x).g(0).
Dan is g(x) = g(-x) òf g(0) = 0.
g(x).g(x) = g(-x).g(-x),
dus (ik neem aan dat g continu moet zijn) g(x) = g(-x) of g(x) = -g(-x) voor alle x.
Als g(x) = g(-x), dan is
f(y+x) = f(y).f(-x) + g(y).g(-x) = f(y).f(x) + g(y).g(x) = f(y-x)
Kies a,b
. Dan is f(a) = f(b), want kies maar x = (a-b)/2 en y=(a+b)/2.
Dus f is constant en dus g ook, maar die oplossing hadden we al.
Dus g(x) = -g(x) voor alle x.
f(0) = f(0).f(0) + g(0).g(0) = f(0)^2.
Dus f(0) = 0 of f(0) = 1.
f(0) = f(x).f(x) + g(x).g(x).
Als f(0) = 0, dan is f(x) = g(x) = 0.
We veronderstellen dat f en g niet constant zijn, dus is f(0) = 1.
Uit f(x)^2+g(x)^2 = 1 volgt niet zonder meer dat f(x) = cos(x) en g(x) = sin(x).
