Springen naar inhoud

[wiskunde/mechanica] raak- en (bi)normale vectoren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2007 - 14:32

Ik ben een tentamen aan het leren en loop tegen het volgende vraagstuk op:

Neem c:[a,b] in R^3 een oneindig differentieerbaar pad. c'(t) is voor elke t ongelijk aan 0. De vector c'(t) / Norm(c'(t)) = T(t) is de raaklijn van c aan c(t). Omdat de norm van T(t) = 1, wordt T de eenheidsraaklijn genoemd van c(t).

De vraag die hierbij hoort is: Laat zien dat T'(t)*T(t) = 0 en schrijf een formule voor T'(t) uitgedrukt in c.

De hint die gegeven is: Differentiatie T(t)*T(t) = 1

Ik begrijp deze vraag niet. Wat is de bedoeling en hoe los je zoiets netjes op...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2007 - 14:40

Dus het accent is de afgeleide naar t? Als T(t) = c'(t)/|c'(t)|, dan vind je T'(t) door T(t) nogmaals af te leiden naar t.

Voor T'(t)*T(t) heb je:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2007 - 14:51

Oke, bedankt!

Als we T'(t) uit moeten drukken in c krijgen we dan het volgende?

norm(c'(t)) * c''(t) - c'(t) * 0

gedeeld door

(norm(c'(t)))^2

De afgeleide van een norm is toch altijd 0 en verder kunnen we de NAT-TAN/N^2 regel toepassen?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2007 - 14:54

Je past de quotiŽntregel correct toe, maar die is niet nodig.
De noemer hangt immers niet meer af van t, want als je de norm neemt krijg je een getal.
Die factor kan je dus voor de afgeleide zetten en dan vind je direct c''(t)/|c'(t)|.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2007 - 14:58

Ofwel korter geschreven:

c''(t) gedeeld door norm(c'(t))

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2007 - 15:16

Dat klopt, maar ik begrijp niet hoe dat korter is dan c''(t)/|c'(t)|, zoals ik al gaf :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2007 - 15:26

Oke, je was me iets voor. :)

Aanvullend nog iets:

Als T'(t) ongelijk is aan 0 dan N(t) = T'(t)/ Norm( T'(t)) staat loodrecht op T(t).

De derde eenheidsvector, d.w.z. de vector die zowel loodrecht staat op T en N, definieren we als B = TxN.

Hoe kun je dan aantonen dat

B' * B = 0, B' * T = 0 en dat B' een scalaire veelvoud is van N?

(alle afleidingen zijn naar t)

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2007 - 15:37

T (tangent), N (normal) en B (binormal) zijn allen genormaliseerd, dus voor B'.B geldt weer:

LaTeX

Voor B'.T halen we de afgeleide buiten, maar B staat per definitie loodrecht op T, dus:

LaTeX

En dan zou B' nog een scalair veelvoud van N moeten zijn?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Wiskunde

    Wiskunde


  • >100 berichten
  • 110 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2007 - 15:41

LaTeX

Dat lijkt me een betere oplossing i.p.v. 1. En waarom is B' dan geen scalaire veelvoud van N. Dat proef ik immers uit je woorden...

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2007 - 15:47

Daar moest natuurlijk 0 staan, de afgeleide van 1 is 0 :)

Het zou best kunnen, ik wou even controleren of de opgave klopte.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2007 - 16:14

Daar moest natuurlijk 0 staan, de afgeleide van 1 is 0 :)

Het zou best kunnen, ik wou even controleren of de opgave klopte.


Wat zou best kunnen? :)

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2007 - 16:24

De laatste opgave, B' een scalair veelvoud van N. Ik zei dat als reactie op:

En waarom is B' dan geen scalaire veelvoud van N. Dat proef ik immers uit je woorden...

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2007 - 16:24

Ik zie ook nog staan: N is een "principal normal vector". Wat is dat precies? Kunnen we daaruit halen dat LaTeX een scalaire veelvoud is van N?

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 januari 2007 - 16:30

Die 'principal' kan je daar zetten om expliciet het verschil aan te duiden, maar dat is slechts naamgeving.
Gewoonlijk noemen we N gewoon de normaalvector en is B de binormale.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 januari 2007 - 17:14

En nog begrijp ik niet, waarom LaTeX een scalaire veelvoud is van N :) :)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures