Die formule klopt niet helemaal... Voor een enkelvoudige pool geldt:
\(\mbox{\Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z)\)
Voor een meervoudige pool (van orde n), geldt:
\(\mbox{\Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \frac{{\mbox{d}^{n - 1} }}{{\mbox{d}z^{n - 1} }}\left( {\left( {z - a} \right)^n f\left( z \right)} \right)\)
Laten we eerst voorbeeld twee bekijken, dat is een enkelvoudige pool, dus:
\({\mathop{\rm \Res}no\limits} \left( {f, - 1 - 2i} \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - 1 - 2i} \left( {\left( {z - \left( { - 1 - 2i} \right)} \right)\frac{5}{{z + 1 + 2i}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to - 1 - 2i} 5 = 5\)
Dit is logisch, de noemer was immers precies (z-c) en het residu is de coëfficiënt van 1/(z-c) in de Laurentreeks.
Probeer zelf opgave 1.
