Springen naar inhoud

Algebra: product en som van positieve gehele getallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

JayCi

    JayCi


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2007 - 23:44

Ik heb hier wat geprobeerd maar ik kom er niet verder mee. Zou iemand mij misschien kunnen helpen?

{a1,a2,....,an} zijn n positieve gehele getallen. Bepaal deze n positieve gehele getallen zo dat a1+a2+...+an=1000 en het produkt, dus a1*a2*...*an zo groot mogelijk is.

Hetzelfde maar nu voor n positieve reele getallen.

Bepaal {a1,...,an} als geldt:
a1*...*an =constant en a1+a2+...+an is minimaal.

1. Als {a1,...,an} positieve gehele getallen.
2. Als {a1,...,an} positieve reele getallen.


Wie zou me hierbij een handje willen helpen....Ik loop helemaal vast.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 januari 2007 - 23:51

Mag je n zelf bepalen? Ik zou n=125 en ai=8 nemen, dan is het product 8125.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

JayCi

    JayCi


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2007 - 09:32

Mag je n zelf bepalen? Ik zou n=125 en ai=8 nemen, dan is het product 8125.


Als je n=125 neem en je rekent 8^125 uit krijg je 9,27*10^150. Een opmerking is dat je inplaats van n=125 ook n=500 neemt en dan heb je 2^500 en dit is ook hetzelfde al 8^125.

Als je n=334 kiest (hierbij probeer ik 1000 te delen door 3). Neem dan a[1]=...=a[333]=3 en a[334]=1 krijgt je dan 7,63*10^158 en dit is nog groter.

Wat ik heb opgemerkt is dat als je groter dan 3 maakt dat het product kleiner wordt dus het moet liggen in de buurt van 3 (voor bijna alle a[i]). Verder merk ik op dat:

a[1] a[2] .......a[332] a[333] a[334] Het product
3 3 .......... 3 3 1 7,63*10^158
3 3 .......... 3 2 2 1,02*10^159

Verder kan je het niet verdelen en de tweede is aanzienlijk groter dan de eerste. Dus ik heb dit gemerkt als de optimale oplossing voor gehele positieve getallen.

Als ik hetzelfde moet doen voor gehele reele getallen merk ik eerst op dat de optimale oplossing rond 3 moet zitten omdat de positieve gehele getallen een deelverzameling is van de reele getallen; dus het optimale punt moet ook in de buurt zitten van 3 (zoals bij de gehele getallen).

Dezelfde rij (kijk nu alleen naar de laatstew drie cijfers)
3 3 3 ....... 3 2 2 product = 3*2*2=12
3 3 3 ........2,9 2,1 2 product = 2,9*2,1*2=12,18
3 3 3 ........2,8 2,1 2,1 product = 2,8*2,1*2,1 = 12,348

Wanneer is deze maximaal voor de laatste drie? Hiervoor heb ik een functie gemaakt
f(x)=(3-2x)*(2+x)*(2+x) en ik moet deze functie maximaliseren.

Er geldt hier dat x=0,33333248 (oplossing met GRM) de oplossing is. Exact oplossen levert: x=1/3. Dus de oplossing wordt:
3 3 3 ........2 1/3 2 1/3 2 1/3 als we alleen kijken naar de laatste 3.

Wat gebeurt er als we de rest ook mee laten tellen?
Ik kom er niet verder en weet iemand misschien of wat ik hier doe wel goed is?[/tex]

#4

Pongping

    Pongping


  • >25 berichten
  • 91 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2007 - 13:29

Ik heb het anders aangepakt maar ik weet niet of je er ergens mee komt. Ik maak een functie
LaTeX onder de nevenvoorwaarde
LaTeX
Na substitutie van de nevenvoorwaarde in g bekom je een nieuwe functie
LaTeX
Na een beetje herschrijven kom je aan
LaTeX
En deze functie moet je maximaliseren :) .
Ten eerste moet je dan de gradiŽnt van f berekenen:
LaTeX
En dan moet je alle waarden van LaTeX vinden zodat de gradiŽnt LaTeX wordt.
Ik weet niet of dit een goeie manier is, en of het probleem zo Łberhaupt op te lossen is.

Edit: hij zegt dat de volgende LateX "[unparseable or potentially dangerous latex formula]"
nabla =(a_3*a_4*...*a_n*(1000-2a_2-a_3-...-a_n),a_2*a_4*...*a_n*(1000-a_2-2a_3-...-a_n),...,a_2*a_3*...*a_{n-2}*a_n*(1000-a_2-a_3-...-2a_{n-1}-a_n,a_2*a_3*...*a_{n-2}*a_{n-1}*(1000-a_2-a_3-...-a_{n-1}-2a_n))

#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2007 - 14:28

Volgens mij heeft het iets te maken met als een latex formule te lang wordt. Misschien even opdelen in meerdere regels?

Over het optimaliseren: Het is sowieso optimaal om de ai's zo weinig mogelijk te laten verschillen.
Immers als ai en aj verschillend zijn, en je vervangt ze beide door a=(ai+aj)/2, dan blijft de som hetzelfde en wordt het product groter.
Want: noem c=a-ai, dan ai*aj = (a-c)(a+c) = a2-c2 < a2.

In het reŽle geval is het dus optimaal om alle n de getallen hetzelfde te houden, oftewel ai = 1000/n.
Daarom moet je LaTeX optimaliseren. Daar komt n=1000/e uit, dus n=367 of n=368, en f(n=368) blijkt het grootste:
LaTeX en LaTeX
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2007 - 14:34

Nog even over het niet-reŽle geval:

Als je n=334 kiest (hierbij probeer ik 1000 te delen door 3). Neem dan a[1]=...=a[333]=3 en a[334]=1 krijgt je dan 7,63*10^158 en dit is nog groter.

Klopt, en het wordt zelfs nog ietsje groter door die laatste 1 bij een 3 op te tellen. Dus n=333, met a1=4 en de overige ai=3. Komt 1.01465*10159 uit.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

Freek Wiskunde

    Freek Wiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2007 - 19:31

Hoe luidt de berekening bij het optimaliseren van deze formule:
Daarom moet je LaTeX
optimaliseren. Daar komt n=1000/e uit, dus n=367 of n=368 ????

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2007 - 19:42

"optimaliseren" is in deze context gewoon maximaliseren.
Dus differentiŽren, dat levert LaTeX

Afgeleide gelijkstellen aan nul:
LaTeX

Tekenschema:
Geplaatste afbeelding

Dus t/m n=367 is f(n) stijgend, en vanaf n=368 is f(n) dalend, daarom ligt het maximum bij n=367 of n=368. Door beide in te vullen zie je dat het f(368) is.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

Freek Wiskunde

    Freek Wiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2007 - 20:14

Iemand enig idee hoe het gaat voor het geval:

a1+a2+...+an= minimaal en het produkt, dus a1*a2*...*an = constant.

Voor:
1. Als {a1,...,an} positieve gehele getallen.
2. Als {a1,...,an} positieve reele getallen.

#10

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2007 - 20:34

Voor het reŽle geval denk ik dat je uitkomt op LaTeX , om dezelfde reden als boven: als er verschillende ai's zouden zijn, zouden ze ook allebei minder dan hun gemiddelde kunnen zijn voor hetzelfde (constante) product en een kleinere som, dus dan was het kennelijk niet minimaal.

Vervolgens n*ai minimaliseren naar n, dit hangt af van de constante, komt log(constante) uit (zelfde werkwijze als boven).

In het discrete geval kunnen er wat kleine afwijkingen zijn, afhankelijk van de constante.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures