Ik heb hier wat geprobeerd maar ik kom er niet verder mee. Zou iemand mij misschien kunnen helpen?
{a1,a2,....,an} zijn n positieve gehele getallen. Bepaal deze n positieve gehele getallen zo dat a1+a2+...+an=1000 en het produkt, dus a1*a2*...*an zo groot mogelijk is.
Hetzelfde maar nu voor n positieve reele getallen.
Bepaal {a1,...,an} als geldt:
a1*...*an =constant en a1+a2+...+an is minimaal.
1. Als {a1,...,an} positieve gehele getallen.
2. Als {a1,...,an} positieve reele getallen.
Wie zou me hierbij een handje willen helpen....Ik loop helemaal vast.
Laatste berichten
-
15:02
Interpretatie reactie-energie 2
-
12:55
Casus uit de praktijk: positief test THC 6
-
22:01
vB 7
-
21:45
Vreemde stank in huis 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Rotatie van het heelal 22
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
-
05 apr
Ongepaste reclame 179
-
04 apr
Gegevens wissen mobiel 6
-
04 apr
Geiger Muller telbuis 2
-
03 apr
Schroefdraad berekening 3
-
03 apr
Relatieve luchtvochtigheid 26
-
03 apr
tank 4
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Algebra: product en som van positieve gehele getallen
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 5.679
Re: Algebra: product en som van positieve gehele getallen
Mag je n zelf bepalen? Ik zou n=125 en ai=8 nemen, dan is het product 8125.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 7
Re: Algebra: product en som van positieve gehele getallen
Als je n=125 neem en je rekent 8^125 uit krijg je 9,27*10^150. Een opmerking is dat je inplaats van n=125 ook n=500 neemt en dan heb je 2^500 en dit is ook hetzelfde al 8^125.Mag je n zelf bepalen? Ik zou n=125 en ai=8 nemen, dan is het product 8125.
Als je n=334 kiest (hierbij probeer ik 1000 te delen door 3). Neem dan a[1]=...=a[333]=3 en a[334]=1 krijgt je dan 7,63*10^158 en dit is nog groter.
Wat ik heb opgemerkt is dat als je groter dan 3 maakt dat het product kleiner wordt dus het moet liggen in de buurt van 3 (voor bijna alle a). Verder merk ik op dat:
a[1] a[2] .......a[332] a[333] a[334] Het product
3 3 .......... 3 3 1 7,63*10^158
3 3 .......... 3 2 2 1,02*10^159
Verder kan je het niet verdelen en de tweede is aanzienlijk groter dan de eerste. Dus ik heb dit gemerkt als de optimale oplossing voor gehele positieve getallen.
Als ik hetzelfde moet doen voor gehele reele getallen merk ik eerst op dat de optimale oplossing rond 3 moet zitten omdat de positieve gehele getallen een deelverzameling is van de reele getallen; dus het optimale punt moet ook in de buurt zitten van 3 (zoals bij de gehele getallen).
Dezelfde rij (kijk nu alleen naar de laatstew drie cijfers)
3 3 3 ....... 3 2 2 product = 3*2*2=12
3 3 3 ........2,9 2,1 2 product = 2,9*2,1*2=12,18
3 3 3 ........2,8 2,1 2,1 product = 2,8*2,1*2,1 = 12,348
Wanneer is deze maximaal voor de laatste drie? Hiervoor heb ik een functie gemaakt
f(x)=(3-2x)*(2+x)*(2+x) en ik moet deze functie maximaliseren.
Er geldt hier dat x=0,33333248 (oplossing met GRM) de oplossing is. Exact oplossen levert: x=1/3. Dus de oplossing wordt:
3 3 3 ........2 1/3 2 1/3 2 1/3 als we alleen kijken naar de laatste 3.
Wat gebeurt er als we de rest ook mee laten tellen?
Ik kom er niet verder en weet iemand misschien of wat ik hier doe wel goed is?[/tex]
-
- Berichten: 91
Re: Algebra: product en som van positieve gehele getallen
Ik heb het anders aangepakt maar ik weet niet of je er ergens mee komt. Ik maak een functie
.
Ten eerste moet je dan de gradiënt van f berekenen:
Ik weet niet of dit een goeie manier is, en of het probleem zo überhaupt op te lossen is.
Edit: hij zegt dat de volgende LateX "[unparseable or potentially dangerous latex formula]"
nabla =(a_3*a_4*...*a_n*(1000-2a_2-a_3-...-a_n),a_2*a_4*...*a_n*(1000-a_2-2a_3-...-a_n),...,a_2*a_3*...*a_{n-2}*a_n*(1000-a_2-a_3-...-2a_{n-1}-a_n,a_2*a_3*...*a_{n-2}*a_{n-1}*(1000-a_2-a_3-...-a_{n-1}-2a_n))
\(g(a_1,a_2,...,a_n)=a_1*a_2*...*a_n\)
onder de nevenvoorwaarde\(a_1+a_2+...+a_n=1000\Leftrightarrow a_1=1000-a_2-a_3-...-a_n\)
Na substitutie van de nevenvoorwaarde in g bekom je een nieuwe functie\(f(a_2,a_3,...,a_n)=(1000-a_2-a_3-...-a_n)*a_2*...*a_n\)
Na een beetje herschrijven kom je aan\(f(a_2,a_3,...,a_n)=1000*a_2*...*a_n-a_2^2*a_3*...*a_n-a_2*a_3^2*...*a_n-...-a_2*a_3*...*a_{n-1}^2*a_n-a_2*a_3*...*a_{n-1}*a_n^2\)
En deze functie moet je maximaliseren .Ten eerste moet je dan de gradiënt van f berekenen:
\(\nabla =(a_3*a_4*...*a_n*(1000-2a_2-a_3-...-a_n),a_2*a_4*...*a_n*(1000-a_2-2a_3-...-a_n),...,a_2*a_3*...*a_{n-2}*a_n*(1000-a_2-a_3-...-2a_{n-1}-a_n,a_2*a_3*...*a_{n-2}*a_{n-1}*(1000-a_2-a_3-...-a_{n-1}-2a_n))\)
En dan moet je alle waarden van \(a_i\)
vinden zodat de gradiënt \((0,0,...,0)\)
wordt.Ik weet niet of dit een goeie manier is, en of het probleem zo überhaupt op te lossen is.
Edit: hij zegt dat de volgende LateX "[unparseable or potentially dangerous latex formula]"
nabla =(a_3*a_4*...*a_n*(1000-2a_2-a_3-...-a_n),a_2*a_4*...*a_n*(1000-a_2-2a_3-...-a_n),...,a_2*a_3*...*a_{n-2}*a_n*(1000-a_2-a_3-...-2a_{n-1}-a_n,a_2*a_3*...*a_{n-2}*a_{n-1}*(1000-a_2-a_3-...-a_{n-1}-2a_n))
-
- Berichten: 5.679
Re: Algebra: product en som van positieve gehele getallen
Volgens mij heeft het iets te maken met als een latex formule te lang wordt. Misschien even opdelen in meerdere regels?
Over het optimaliseren: Het is sowieso optimaal om de ai's zo weinig mogelijk te laten verschillen.
Immers als ai en aj verschillend zijn, en je vervangt ze beide door a=(ai+aj)/2, dan blijft de som hetzelfde en wordt het product groter.
Want: noem c=a-ai, dan ai*aj = (a-c)(a+c) = a2-c2 < a2.
In het reële geval is het dus optimaal om alle n de getallen hetzelfde te houden, oftewel ai = 1000/n.
Daarom moet je
Over het optimaliseren: Het is sowieso optimaal om de ai's zo weinig mogelijk te laten verschillen.
Immers als ai en aj verschillend zijn, en je vervangt ze beide door a=(ai+aj)/2, dan blijft de som hetzelfde en wordt het product groter.
Want: noem c=a-ai, dan ai*aj = (a-c)(a+c) = a2-c2 < a2.
In het reële geval is het dus optimaal om alle n de getallen hetzelfde te houden, oftewel ai = 1000/n.
Daarom moet je
\(f:n\nrightarrow\rr, f(n)=(\frac{1000}{n})^n\)
optimaliseren. Daar komt n=1000/e uit, dus n=367 of n=368, en f(n=368) blijkt het grootste: \(a_i=\frac{1000}{368}\)
en \({a_i}^{368} \approx 0.58614\cdot10^{160}\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 5.679
Re: Algebra: product en som van positieve gehele getallen
Nog even over het niet-reële geval:
Klopt, en het wordt zelfs nog ietsje groter door die laatste 1 bij een 3 op te tellen. Dus n=333, met a1=4 en de overige ai=3. Komt 1.01465*10159 uit.Als je n=334 kiest (hierbij probeer ik 1000 te delen door 3). Neem dan a[1]=...=a[333]=3 en a[334]=1 krijgt je dan 7,63*10^158 en dit is nog groter.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 18
Re: Algebra: product en som van positieve gehele getallen
Hoe luidt de berekening bij het optimaliseren van deze formule:
Daarom moet je
Daarom moet je
\(f:n\nrightarrow\rr, f(n)=(\frac{1000}{n})^n\)
optimaliseren. Daar komt n=1000/e uit, dus n=367 of n=368 ????-
- Berichten: 5.679
Re: Algebra: product en som van positieve gehele getallen
"optimaliseren" is in deze context gewoon maximaliseren.
Dus differentiëren, dat levert
Dus t/m n=367 is f(n) stijgend, en vanaf n=368 is f(n) dalend, daarom ligt het maximum bij n=367 of n=368. Door beide in te vullen zie je dat het f(368) is.
Dus differentiëren, dat levert
\(f'(x)=\left(\frac{1000}{x}\right)^x\cdot(\log\left(\frac{1000}{x}\right)-1)\)
Afgeleide gelijkstellen aan nul:\(f'(x)=0 \Longleftrightarrow \log\left(\frac{1000}{x}\right)=1 \Longleftrightarrow \frac{1000}{x}=e \Longleftrightarrow x=\frac{1000}{e} \approx 367.8794\)
Tekenschema:Dus t/m n=367 is f(n) stijgend, en vanaf n=368 is f(n) dalend, daarom ligt het maximum bij n=367 of n=368. Door beide in te vullen zie je dat het f(368) is.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 18
Re: Algebra: product en som van positieve gehele getallen
Iemand enig idee hoe het gaat voor het geval:
a1+a2+...+an= minimaal en het produkt, dus a1*a2*...*an = constant.
Voor:
1. Als {a1,...,an} positieve gehele getallen.
2. Als {a1,...,an} positieve reele getallen.
a1+a2+...+an= minimaal en het produkt, dus a1*a2*...*an = constant.
Voor:
1. Als {a1,...,an} positieve gehele getallen.
2. Als {a1,...,an} positieve reele getallen.
-
- Berichten: 5.679
Re: Algebra: product en som van positieve gehele getallen
Voor het reële geval denk ik dat je uitkomt op
Vervolgens n*ai minimaliseren naar n, dit hangt af van de constante, komt log(constante) uit (zelfde werkwijze als boven).
In het discrete geval kunnen er wat kleine afwijkingen zijn, afhankelijk van de constante.
\(a_i=\sqrt[n]{\mbox{cons\tante}}\)
, om dezelfde reden als boven: als er verschillende ai's zouden zijn, zouden ze ook allebei minder dan hun gemiddelde kunnen zijn voor hetzelfde (constante) product en een kleinere som, dus dan was het kennelijk niet minimaal. Vervolgens n*ai minimaliseren naar n, dit hangt af van de constante, komt log(constante) uit (zelfde werkwijze als boven).
In het discrete geval kunnen er wat kleine afwijkingen zijn, afhankelijk van de constante.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
