Springen naar inhoud

Bewijzen dat Q niet open is


  • Log in om te kunnen reageren

#1

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2007 - 10:58

Hoi,

dit staat in mijn cursus:

Q is niet gesloten, want X=RQ is niet open. Inderdaad, neem een a in X. We argumenteren dat er geen open interval ronjd a bestaat dat helemaal in X ligt, of wat op hetzelfde neerkomt, dat elk open interval rond a punten zal bevatten die niet in X liggen. Kies dus een willekeurige d > 0. Er bestaat een q in Q zo dat a-d<q<a+d. Dus is q :) ]a-d,a+d[ maar vermits q :) Q is q  :) X. Men kan eveneens op analoge wijze argumenteren dat Q ook niet open is


Hoe bewijs je dat dan op analoge manier?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 januari 2007 - 12:01

Hmmm, volgens mij wordt hier bewezen dat X=RQ niet dicht ligt in R. Als ik me goed herinner betekent het open zijn van een verzameling dat zijn complement gesloten is, en betekent het gesloten zijn van een verzameling X dat de limiet van elke convergerende rij in X ook in X ligt.

Nu kan ik een convergerende rij verzinnen in Q, wiens limiet niet in Q ligt (neem bijvoorbeeld de rij pi op een decimaal, pi op twee decimalen, pi op drie decimalen, etc.), dus ik concludeer dat Q niet gesloten is.
Ook kan ik een convergerende rij verzinnen in RQ, wiens limiet niet in RQ ligt (neem bijvoorbeeld de rij LaTeX ), dus ik concludeer dat RQ niet gesloten is, en dus Q niet open.

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 13 januari 2007 - 12:33

X=RQ is niet gesloten, want Q is niet open. Inderdaad, neem een a in Q. We argumenteren dat er geen open interval rond a bestaat dat helemaal in Q ligt, of wat op hetzelfde neerkomt, dat elk open interval rond a punten zal bevatten die niet in Q liggen. Kies dus een willekeurige d > 0. Er bestaat een q in X zo dat a-d<q<a+d. Dus is q :) ]a-d,a+d[ maar vermits q :) X is q  :) Q. Men kan eveneens op analoge wijze argumenteren dat RQ ook niet open is


#4

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2007 - 13:36

Bedankt.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#5

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 januari 2007 - 16:08

Ik ben dus echt in de war met open/gesloten en dicht liggen. Kan iemand mij a.u.b. de definitie van een open/gesloten verzameling geven? En van een dichte verzameling?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 januari 2007 - 16:31

Zie hier en de links op de pagina voor open/gesloten, hier voor het dicht zijn van een verzameling in een andere.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2007 - 21:40

Q is dicht in R, dwz als x,y[element]:) bestaat er een q zo dat x<q<y met q :):).

Een interval is open als we een rond elk punt a van de interval, een open interval kunnen vinden dat volledig in het interval ligt.

Een interval A is gesloten, als [rr]A open is.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#8

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3101 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 januari 2007 - 11:16

Ow ja, uiteraard, dat is (een van) de definitie(s), en zo kun je dus ook openheid aantonen. Ik had het met een andere (equivalente) definitie anders aangepakt. Volgens mij kloppen mijn bewijzen voor het niet-open zijn van Q en RQ wel, toch? Dat Q niet dicht in R ligt, zou ik ook met de rijtjesdefinitie bewijzen, maar daar wordt hier nergens naar gevraagd.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures