Bewijzen dat Q niet open is

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 13-01-'07, 10:58

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Bewijzen dat Q niet open is

Hoi,

dit staat in mijn cursus:
Q is niet gesloten, want X=RQ is niet open. Inderdaad, neem een a in X. We argumenteren dat er geen open interval ronjd a bestaat dat helemaal in X ligt, of wat op hetzelfde neerkomt, dat elk open interval rond a punten zal bevatten die niet in X liggen. Kies dus een willekeurige d > 0. Er bestaat een q in Q zo dat a-d<q<a+d. Dus is q :) ]a-d,a+d[ maar vermits q :) Q is q   :) X. Men kan eveneens op analoge wijze argumenteren dat Q ook niet open is
Hoe bewijs je dat dan op analoge manier?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 13-01-'07, 12:01

physicalattraction

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.096

Re: Bewijzen dat Q niet open is

Hmmm, volgens mij wordt hier bewezen dat X=RQ niet dicht ligt in R. Als ik me goed herinner betekent het open zijn van een verzameling dat zijn complement gesloten is, en betekent het gesloten zijn van een verzameling X dat de limiet van elke convergerende rij in X ook in X ligt.

Nu kan ik een convergerende rij verzinnen in Q, wiens limiet niet in Q ligt (neem bijvoorbeeld de rij pi op een decimaal, pi op twee decimalen, pi op drie decimalen, etc.), dus ik concludeer dat Q niet gesloten is.

Ook kan ik een convergerende rij verzinnen in RQ, wiens limiet niet in RQ ligt (neem bijvoorbeeld de rij
\(x_n=\frac{1}{n}\sqrt{2}\)
), dus ik concludeer dat RQ niet gesloten is, en dus Q niet open.
Omhoog

Bericht 13-01-'07, 12:33

PeterPan

Re: Bewijzen dat Q niet open is

X=RQ is niet gesloten, want Q is niet open. Inderdaad, neem een a in Q. We argumenteren dat er geen open interval rond a bestaat dat helemaal in Q ligt, of wat op hetzelfde neerkomt, dat elk open interval rond a punten zal bevatten die niet in Q liggen. Kies dus een willekeurige d > 0. Er bestaat een q in X zo dat a-d<q<a+d. Dus is q :) ]a-d,a+d[ maar vermits q :) X is q   :) Q. Men kan eveneens op analoge wijze argumenteren dat RQ ook niet open is
Omhoog

Bericht 13-01-'07, 13:36

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Bewijzen dat Q niet open is

Bedankt.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 13-01-'07, 16:08

physicalattraction

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.096

Re: Bewijzen dat Q niet open is

Ik ben dus echt in de war met open/gesloten en dicht liggen. Kan iemand mij a.u.b. de definitie van een open/gesloten verzameling geven? En van een dichte verzameling?
Omhoog

Bericht 13-01-'07, 16:31

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijzen dat Q niet open is

Zie hier en de links op de pagina voor open/gesloten, hier voor het dicht zijn van een verzameling in een andere.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 13-01-'07, 21:40

raintjah

Gebruikersavatar
Berichten: 824

Re: Bewijzen dat Q niet open is

Q is dicht in R, dwz als x,y[element] :) bestaat er een q zo dat x<q<y met q :) :) .

Een interval is open als we een rond elk punt a van de interval, een open interval kunnen vinden dat volledig in het interval ligt.

Een interval A is gesloten, als [rr]A open is.
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.
Omhoog

Bericht 14-01-'07, 11:16

physicalattraction

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.096

Re: Bewijzen dat Q niet open is

Ow ja, uiteraard, dat is (een van) de definitie(s), en zo kun je dus ook openheid aantonen. Ik had het met een andere (equivalente) definitie anders aangepakt. Volgens mij kloppen mijn bewijzen voor het niet-open zijn van Q en RQ wel, toch? Dat Q niet dicht in R ligt, zou ik ook met de rijtjesdefinitie bewijzen, maar daar wordt hier nergens naar gevraagd.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”