Lineaire algebra

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Lineaire algebra

[domme vragen modus aan]

Als V een vectorruimte is (met oa de nulvector) en W een lineaire deelruimte, zit die nulvector dan ook altijd in W?

Ik vermoed van wel omdat voor de deelruimte het volgende axioma geldt:

Als w een element is van W dan is (-1)w = -w ook een element van W.

En dus zit w-w=0 ook in W.

Maar geldt dit dan altijd?

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.087

Re: Lineaire algebra

Je hebt gelijk: elke lineaire ruimte (en dus ook elke lineaire deelruimte van een andere lineaire ruimte) bevat de nulvector, en je bewijs is ook correct.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Lineaire algebra

ik dacht het wel, maar 'k ben niet meer zeker
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Lineaire algebra

ik dacht het wel, maar 'k ben niet meer zeker
net iets te traag gepost

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Lineaire algebra

Stel dat ik nu twee verzamelingen heb in :) ³

x-2y+z=0 en x-2x+y = 1

Kan ik dan zeggen dat die eerste een deelruimte is van R³ en die tweede niet alleen omdat die twee de nulvector niet heeft?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lineaire algebra

Je eerste vermoeden klopte inderdaad ook, vandaar dat je dit kan gebruiken om na te gaan of een ruimte wel een deelruimte is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Lineaire algebra

Kent iemand een definitie wanneer een verzameling of vectorruimte vrij is? Ik kan er nergens een vinden...

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.087

Re: Lineaire algebra

Ik heb drie jaar wiskunde aan de universiteit gestudeerd, maar van een vrije verzameling of vectorruimte heb ik nog nooit gehoord. Waar ben je dit tegengekomen?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Lineaire algebra

Hier kom ik het als eerste tegen,

Vectoren
\(v_1, v_2, ... , v_k\)
zijn lineair afhankelijk als:
\(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_k v_k = 0 \left( \Leftrightarrow {v_1,v_2,...,v_k } \mbox{is \niet vrij} \right)\)
met
\(\lambda_i \in \rr\)
niet allemaal nul.

Berichten: 2.746

Re: Lineaire algebra

wil niet-vrij dan niet zeggen dat ze lineair afhankelijk zijn?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Lineaire algebra

Ik weet het niet, ik vraag het aan jullie :) .

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Lineaire algebra

Deze raak ik niet wijs uit.

Zij V een vectorruimte, v1, ..., n :?: V en S \(\subseteq\) V, S :)
\(o\)
(a) Toon aan dat [v1, ..., n] de kleinste lineaire deelruimte is van V die v1, ..., n bevat.

(b) Toon aan dat:
\([S] := { \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \left| n \in \nn_0, v_i \in S, \lambda_i \in \rr }\)
.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Lineaire algebra

Rov schreef:Stel dat ik nu twee verzamelingen heb in :) ³

x-2y+z=0 en x-2x+y = 1

Kan ik dan zeggen dat die eerste een deelruimte is van R³ en die tweede niet alleen omdat die twee de nulvector niet heeft?
Klopt, dat tweede is een lineaire variëteit of ook wel affiene deelruimte (of affiene variëteit, mag allemaal geloof ik).

Om na te gaan of W een lineaire deelruimte van V is, hoef je alleen maar na te gaan of:
\(\forall v\in W,w\in W,\lambda\in\rr,\mu\in\rr: \lambda v + \mu w \in W\)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.087

Re: Lineaire algebra

Zij
\(V\)
een vectorruimte, met
\(v_1,...,v_n \in V\)
Ik neem hierbij aan dat je
\(n\)
willekeurige vectoren uit
\(V\)
neemt, en dat
\(v_1,...,v_n\)
geen basis is voor
\(V\)
, anders moest het wel vermeld zijn.
Toon aan dat
\([v_1,...v_n]\)
de kleinste lineaire deelruimte is van
\(V\)
die
\(v_1,...,v_n\)
bevat.
Ik zou beginnen met een basis op te stellen voor
\([v_1,...v_n]\)
, bestaande uit vectoren die een lineaire combinatie zijn van de
\(v_i's\)
en dan te bewijzen dat wanneer je een vector uit deze basis weglaat, je dan niet meer alle vectoren
\(v_i\)
kan maken met je overgebleven basisvectoren.
Toon aan dat
\([S] := { \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \left| n \in \nn_0, v_i \in S, \lambda_i \in \rr }\)
.
Deze kan ik niet bewijzen, daar dit niet per se waar hoeft te zijn. Er is nergens gemeld dat
\(V\)
of
\(S\)
eindig-dimensionaal zijn, dus is er ook geen reden om aan te nemen dat je de ruimte
\(S\)
kan opspannen met een eindige basis.

En nog even over dat vrij zijn: volgens de context die jij gaf, lijkt het er inderdaad op dat men bedoelt lineair onafhankelijk, maar dit is een taalgebruik die niemand gebruikt in de wiskunde.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Lineaire algebra

Volgens mij zitten we weer met zo'n notatie verwarring.

Met die haken rond [v1, ..., vn] bedoel ik dat dit een lineaire deelruimte is opgespannen door v1, ..., vn.

Bij (b) ben ik iets vergeten te zeggen:

Toon aan dat
\([S] := { \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i \left| n \in \nn_0, v_i \in S, \lambda_i \in \rr }\)
de kleinste deelruimte is van V die S omvat.
En nog even over dat vrij zijn: volgens de context die jij gaf, lijkt het er inderdaad op dat men bedoelt lineair onafhankelijk, maar dit is een taalgebruik die niemand gebruikt in de wiskunde.
Daar ben ik nu uit, ergens in mijn cursus staat "...dan heet S vrij of, anders gezegd, zijn de elementen van S lineair onafhankelijk, ..."

Reageer