a) k =< n (kleiner of gelijk aan)
b) als k = n dan is v1, ..., vn ook een basis van V
c) als k<n dan kan met v1, ... ,vk met n-k vectoren k+1, ...,vn aanvullen tot een basis van V.
Bewijs:
Laat e1, ... , en de gegeven basis zijn. Dan geldt voor zekere scalairen a1i die niet allen nul zijn dat:
v1=a11e1 + ... + a1nen
Als we dan een veronderstellen dan a11
nul is (en anders verwisselen we gewoon een paar a's tot er vanvoor een a staat die niet nul is) geldt:\(e_1 = \frac{1}{a_{11}}v_1 - \sum^n_{i=2} \frac{a_{1i}}{a_{11}}e_i\)
Elke lineaire combinatie van e1, ... , en kan dus geschreven worden als een combinatie vanv1, e2, ... , en
Dit is ook weer lineair onafhankelijk want anders zouden er n scalairen b1, ..., bn bestaan die niet allen nul zijn zodat
\(\sum_{i=1}^n b_ie_i = 0\)
Maar dan mag b1 niet nul zijn want e2 tot en zijn lineair onafhankelijk.Samen met het feit dat
v1=a11e1 + ... + a1nen geeft dit:
b1a11e1 + (b1a12+b2)e2 + ... + (b1a1n+bn)en=0 met b1a11
0.Maar hoe komt men aan die laatste warboel van a, b en e's??
